Номер 273, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Теорема Пифагора. Глава 2. Квадратные корни - номер 273, страница 79.

Условие.

273 Велосипедист проехал из пункта M в пункт N по улицам (рис. 2.19). Какое расстояние он проехал? Если бы можно было проехать напрямик, то на сколько короче оказался бы его путь?

Расстояние по улицам: $3 \text{ км} + 1 \text{ км}$

Прямой путь: $\sqrt{3^2 + 1^2}$

Короче на: $(3 + 1) - \sqrt{3^2 + 1^2}$

Рис. 2.19

a) $c = \sqrt{6^2 + 9^2}$

б) $k = \sqrt{24^2 - 7^2}$

Рис. 2.18

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Какое расстояние он проехал?

Чтобы найти расстояние, которое велосипедист проехал по улицам, необходимо сложить длины двух участков его пути. Согласно рисунку, первый участок от точки $M$ до перекрестка равен 3 км, а второй участок от перекрестка до точки $N$ равен 1 км.

Суммарное расстояние $S_{улицы}$ равно:

$S_{улицы} = 3 \text{ км} + 1 \text{ км} = 4 \text{ км}$

Ответ: 4 км.

Если бы можно было проехать напрямик, то на сколько короче оказался бы его путь?

Путь по улицам и прямой путь между точками $M$ и $N$ образуют прямоугольный треугольник. Участки пути по улицам (3 км и 1 км) являются катетами этого треугольника, а прямой путь — его гипотенузой.

Для нахождения длины прямого пути (гипотенузы $c$) воспользуемся теоремой Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

Подставим значения длин катетов: $a = 3$ км и $b = 1$ км.

$c^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$

Следовательно, длина прямого пути равна:

$c = \sqrt{10}$ км.

Теперь найдем, на сколько путь напрямик короче пути по улицам. Для этого вычтем из расстояния по улицам расстояние напрямик:

Разница = $S_{улицы} - c = (4 - \sqrt{10}) \text{ км}$.

(Для справки, можно вычислить примерное значение: $\sqrt{10} \approx 3,16$ км, тогда разница составляет $4 - 3,16 \approx 0,84$ км).

Ответ: на $(4 - \sqrt{10})$ км.