Страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

304 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Известно, что $a^2 + b^2 = 41$ и $ab = 20$. Найдём $a + b$. Чтобы решить задачу, умножим обе части второго равенства на 2, получим $2ab = 40$. Сложив это равенство с первым, получим

$a^2 + b^2 + 2ab = 40 + 41,$

$(a + b)^2 = 81,$

$a + b = 9$ или $a + b = -9.$

Пользуясь рассмотренным приёмом, найдите:

а) положительное значение суммы $a + b$, если $a^2 + b^2 = 82$ и $ab = 9$;

б) значения разности $a - b$, если $a^2 + b^2 = 106$ и $ab = 45$;

в) отрицательное значение разности $a - b$, если $a^2 + b^2 = 72$ и $ab = 18$;

г) значения суммы $a + b$, если $(a - b)^2 = 5$ и $ab = 1$;

д) положительное значение разности $a - b$, если $a + b = 8$ и $a^2 + b^2 = 40$.

а) Чтобы найти положительное значение суммы $a + b$, используем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$. По условию $a^2 + b^2 = 82$ и $ab = 9$. Подставляем эти значения в формулу: $(a + b)^2 = 82 + 2 \cdot 9 = 82 + 18 = 100$. Из этого уравнения находим, что $a + b = 10$ или $a + b = -10$. Так как требуется найти положительное значение, получаем 10.
Ответ: 10.

б) Для нахождения значений разности $a - b$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$. По условию $a^2 + b^2 = 106$ и $ab = 45$. Подставляем значения в формулу: $(a - b)^2 = 106 - 2 \cdot 45 = 106 - 90 = 16$. Отсюда следует, что $a - b = 4$ или $a - b = -4$.
Ответ: 4 или -4.

в) Чтобы найти отрицательное значение разности $a - b$, используем ту же формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$. Дано, что $a^2 + b^2 = 72$ и $ab = 18$. Подставляем: $(a - b)^2 = 72 - 2 \cdot 18 = 72 - 36 = 36$. Из этого уравнения находим, что $a - b = 6$ или $a - b = -6$. Так как требуется найти отрицательное значение, выбираем -6.
Ответ: -6.

г) Нам даны $(a - b)^2 = 5$ и $ab = 1$. Требуется найти значения $a + b$. Сначала найдем $a^2 + b^2$. Раскроем скобки в первом равенстве: $a^2 - 2ab + b^2 = 5$. Выразим отсюда $a^2 + b^2$: $a^2 + b^2 = 5 + 2ab$. Подставим значение $ab = 1$, получим $a^2 + b^2 = 5 + 2(1) = 7$. Теперь используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ и подставляем известные значения: $(a + b)^2 = 7 + 2(1) = 9$. Следовательно, $a + b = 3$ или $a + b = -3$.
Ответ: 3 или -3.

д) Нам даны $a + b = 8$ и $a^2 + b^2 = 40$. Требуется найти положительное значение $a - b$. Сначала найдем $2ab$. Возведем в квадрат первое равенство: $(a + b)^2 = 8^2$, что равносильно $a^2 + 2ab + b^2 = 64$. Подставим известное значение $a^2 + b^2 = 40$: $40 + 2ab = 64$. Отсюда $2ab = 64 - 40 = 24$. Теперь используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ и подставляем значения: $(a - b)^2 = 40 - 24 = 16$. Следовательно, $a - b = 4$ или $a - b = -4$. Так как требуется найти положительное значение, получаем 4.
Ответ: 4.

305 Решите уравнение, воспользовавшись определением арифметического квадратного корня (если корни есть, сделайте проверку):

а) $\sqrt{x-5}=2;$

б) $\sqrt{x+4}=1;$

в) $7+\sqrt{x}=3;$

г) $\sqrt{x+16}-4=0;$

д) $\sqrt{x^2-36}=8;$

е) $\sqrt{x^2+20}=4.$

а) $\sqrt{x-5} = 2$

Согласно определению арифметического квадратного корня, уравнение вида $\sqrt{A} = B$ равносильно системе, состоящей из уравнения $A = B^2$ и неравенства $B \ge 0$.

В данном случае $B=2$, и условие $2 \ge 0$ выполнено. Поэтому можно возвести обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-5})^2 = 2^2$

$x-5 = 4$

Решим полученное линейное уравнение:

$x = 4 + 5$

$x = 9$

Проверка:

Подставим найденный корень $x=9$ в исходное уравнение:

$\sqrt{9-5} = \sqrt{4} = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: $9$

б) $\sqrt{x+4} = 1$

Правая часть уравнения равна $1$, что удовлетворяет условию $1 \ge 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+4})^2 = 1^2$

$x+4 = 1$

Решим уравнение:

$x = 1 - 4$

$x = -3$

Проверка:

Подставим $x=-3$ в исходное уравнение:

$\sqrt{-3+4} = \sqrt{1} = 1$

$1 = 1$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: $-3$

в) $7 + \sqrt{x} = 3$

Сначала выразим корень из уравнения:

$\sqrt{x} = 3 - 7$

$\sqrt{x} = -4$

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ должен быть неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Так как в полученном уравнении корень приравнивается к отрицательному числу ($-4$), оно не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет корней

г) $\sqrt{x+16} - 4 = 0$

Выразим корень из уравнения:

$\sqrt{x+16} = 4$

Правая часть уравнения равна $4$, что удовлетворяет условию $4 \ge 0$. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+16})^2 = 4^2$

$x+16 = 16$

Решим уравнение:

$x = 16 - 16$

$x = 0$

Проверка:

Подставим $x=0$ в исходное уравнение:

$\sqrt{0+16} - 4 = \sqrt{16} - 4 = 4 - 4 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: $0$

д) $\sqrt{x^2-36} = 8$

Правая часть уравнения равна $8$, что удовлетворяет условию $8 \ge 0$. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2-36})^2 = 8^2$

$x^2-36 = 64$

Решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 = 64 + 36$

$x^2 = 100$

$x_1 = 10$, $x_2 = -10$

Проверка:

При $x = 10$: $\sqrt{10^2 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Равенство $8=8$ верное.

При $x = -10$: $\sqrt{(-10)^2 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Равенство $8=8$ верное.

Оба значения являются корнями уравнения.

Ответ: $10; -10$

е) $\sqrt{x^2+20} = 4$

Правая часть уравнения равна $4$, что удовлетворяет условию $4 \ge 0$. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2+20})^2 = 4^2$

$x^2+20 = 16$

Решим полученное уравнение:

$x^2 = 16 - 20$

$x^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Так как левая часть уравнения неотрицательна, а правая отрицательна, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет корней

306 Представьте в виде квадрата некоторого числа:

a) $\sqrt{10}$

б) $2\sqrt{2}$.

а)

Задача состоит в том, чтобы найти такое число $x$, квадрат которого равен заданному числу. Для числа $\sqrt{10}$ мы ищем $x$, для которого выполняется равенство $x^2 = \sqrt{10}$.

Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt{\sqrt{10}}$

Используя свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, упростим выражение для $x$:

$x = \sqrt[2 \cdot 2]{10} = \sqrt[4]{10}$

Таким образом, представление числа $\sqrt{10}$ в виде квадрата некоторого числа имеет вид:

$\sqrt{10} = (\sqrt[4]{10})^2$

Ответ: $(\sqrt[4]{10})^2$.

б)

Для числа $2\sqrt{2}$ необходимо выполнить аналогичные действия. Сначала упростим само выражение, внеся множитель 2 под знак корня:

$2\sqrt{2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$

Теперь ищем такое число $x$, что $x^2 = \sqrt{8}$. Для этого извлекаем квадратный корень:

$x = \sqrt{\sqrt{8}}$

Упростим полученное выражение, используя то же свойство корней:

$x = \sqrt[4]{8}$

Следовательно, представление числа $2\sqrt{2}$ в виде квадрата выглядит так:

$2\sqrt{2} = (\sqrt[4]{8})^2$

Ответ: $(\sqrt[4]{8})^2$.

307 Упростите:

а) $(\sqrt{8})^2$;

б) $(\sqrt{2\sqrt{3}})^2$;

в) $(\sqrt{5})^4$;

г) $(\sqrt{3\sqrt{2}})^4$.

а) По определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt{a})^2 = a$. В данном случае $a=8$.

Следовательно, $(\sqrt{8})^2 = 8$.

Ответ: $8$

б) Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $(\sqrt{a})^2 = a$. Здесь в роли $a$ выступает выражение $2\sqrt{3}$.

Таким образом, $(\sqrt{2\sqrt{3}})^2 = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$

в) Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством степени $x^4 = (x^2)^2$.

$(\sqrt{\sqrt{5}})^4 = ((\sqrt{\sqrt{5}})^2)^2$

Сначала упростим внутреннее выражение. По определению квадратного корня, $(\sqrt{\sqrt{5}})^2 = \sqrt{5}$.

Теперь исходное выражение принимает вид $(\sqrt{5})^2$.

И снова, по определению квадратного корня, $(\sqrt{5})^2 = 5$.

Ответ: $5$

г) Упростим это выражение аналогично предыдущему пункту, представив степень 4 как возведение в квадрат дважды.

$(\sqrt{3\sqrt{2}})^4 = ((\sqrt{3\sqrt{2}})^2)^2$

Сначала вычислим выражение в скобках. По свойству $(\sqrt{a})^2 = a$, где $a = 3\sqrt{2}$, получаем:

$(\sqrt{3\sqrt{2}})^2 = 3\sqrt{2}$

Теперь нужно возвести результат в квадрат. Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Ответ: $18$