Страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

РАБОТАЕМ С ГРАФИКОМ (308–309)

308 Пользуясь графиком зависимости $y = \sqrt{x}$, найдите:

a) значение выражения $\sqrt{x}$ при $x$, равном 2,5; 4,5; 8,5.

б) значение $x$, при котором $\sqrt{x} = 1,5; 2,5$.

Для решения этой задачи мы будем использовать график функции $y = \sqrt{x}$.

а) значение выражения $\sqrt{x}$ при $x$, равном 2,5; 4,5; 8,5.

Чтобы найти значение $\sqrt{x}$ (которое равно $y$) по графику для заданного $x$, нужно найти это значение $x$ на горизонтальной оси ($Ox$), подняться от него по вертикали до пересечения с графиком, а затем от точки на графике провести горизонтальную линию до пересечения с вертикальной осью ($Oy$). Точка на оси $Oy$ и будет искомым значением. Поскольку значения считываются с графика, они являются приближенными.

- Для $x = 2,5$, находим на оси $Ox$ точку $2,5$. Соответствующее значение на оси $Oy$ примерно равно $1,6$. Таким образом, $\sqrt{2,5} \approx 1,6$.
- Для $x = 4,5$, находим на оси $Ox$ точку $4,5$. Соответствующее значение на оси $Oy$ примерно равно $2,1$. Таким образом, $\sqrt{4,5} \approx 2,1$.
- Для $x = 8,5$, находим на оси $Ox$ точку $8,5$. Соответствующее значение на оси $Oy$ примерно равно $2,9$. Таким образом, $\sqrt{8,5} \approx 2,9$.

Ответ: при $x=2,5$ значение $\sqrt{x} \approx 1,6$; при $x=4,5$ значение $\sqrt{x} \approx 2,1$; при $x=8,5$ значение $\sqrt{x} \approx 2,9$.

б) значение $x$, при котором $\sqrt{x} = 1,5; 2,5$.

Чтобы найти значение $x$ для заданного значения $\sqrt{x}$ (которое равно $y$), нужно выполнить обратные действия. Находим заданное значение $y$ на вертикальной оси ($Oy$), проводим от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки на графике опускаем вертикальную линию на горизонтальную ось ($Ox$). Точка на оси $Ox$ и будет искомым значением $x$.

- Для $\sqrt{x} = 1,5$, находим на оси $Oy$ точку $1,5$. Проведя линии, как описано выше, находим на оси $Ox$ точку $2,25$. Это значение является точным, так как $x = y^2 = (1,5)^2 = 2,25$.
- Для $\sqrt{x} = 2,5$, находим на оси $Oy$ точку $2,5$. Соответствующее значение на оси $Ox$ равно $6,25$. Проверка: $x = y^2 = (2,5)^2 = 6,25$.

Ответ: при $\sqrt{x}=1,5$, $x = 2,25$; при $\sqrt{x}=2,5$, $x = 6,25$.

309 Определите, пересекаются ли график зависимости $y = \sqrt{x}$ и заданная прямая. Если да, то вычислите координаты точки пересечения:

а) $x = 16, x = 10, x = -4, x = a (a > 0), x = a (a < 0);$

б) $y = 10, y = \sqrt{2}, y = -5, y = c (c > 0), y = c (c < 0).$

Для того чтобы определить, пересекаются ли график функции $y = \sqrt{x}$ и заданная прямая, необходимо проанализировать область определения и область значений этой функции. Функция $y = \sqrt{x}$ определена для всех $x \ge 0$ (это ее область определения) и принимает только неотрицательные значения $y \ge 0$ (это ее область значений). Это означает, что график функции целиком расположен в первой координатной четверти, включая начало координат и положительные полуоси.

а)

В этом пункте мы рассматриваем пересечение графика функции $y = \sqrt{x}$ с вертикальными прямыми вида $x = k$. Пересечение существует только в том случае, если значение $k$ принадлежит области определения функции, то есть если $k \ge 0$.

$x = 16$. Так как $16 > 0$, это значение входит в область определения функции. Следовательно, прямая и график пересекаются. Чтобы найти координату $y$, подставим $x = 16$ в уравнение функции: $y = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: Да, пересекаются в точке $(16, 4)$.

$x = 10$. Так как $10 > 0$, это значение входит в область определения функции. Прямая и график пересекаются. Подставляем $x = 10$ в уравнение: $y = \sqrt{10}$.
Ответ: Да, пересекаются в точке $(10, \sqrt{10})$.

$x = -4$. Так как $-4 < 0$, это значение не входит в область определения функции $y = \sqrt{x}$.
Ответ: Нет, не пересекаются.

$x = a \ (a > 0)$. По условию $a$ — положительное число, поэтому $a \ge 0$. Значение входит в область определения функции. Прямая и график пересекаются. Подставляем $x = a$ в уравнение: $y = \sqrt{a}$.
Ответ: Да, пересекаются в точке $(a, \sqrt{a})$.

$x = a \ (a < 0)$. По условию $a$ — отрицательное число, поэтому оно не входит в область определения функции $y = \sqrt{x}$.
Ответ: Нет, не пересекаются.

б)

В этом пункте мы рассматриваем пересечение графика функции $y = \sqrt{x}$ с горизонтальными прямыми вида $y = c$. Пересечение существует только в том случае, если значение $c$ принадлежит области значений функции, то есть если $c \ge 0$.

$y = 10$. Так как $10 > 0$, это значение входит в область значений функции. Прямая и график пересекаются. Чтобы найти координату $x$, подставим $y = 10$ в уравнение: $10 = \sqrt{x}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 10^2 = 100$.
Ответ: Да, пересекаются в точке $(100, 10)$.

$y = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, это значение входит в область значений функции. Прямая и график пересекаются. Подставляем $y = \sqrt{2}$ в уравнение: $\sqrt{2} = \sqrt{x}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = (\sqrt{2})^2 = 2$.
Ответ: Да, пересекаются в точке $(2, \sqrt{2})$.

$y = -5$. Так как $-5 < 0$, это значение не входит в область значений функции $y = \sqrt{x}$.
Ответ: Нет, не пересекаются.

$y = c \ (c > 0)$. По условию $c$ — положительное число, поэтому $c \ge 0$. Значение входит в область значений функции. Прямая и график пересекаются. Подставляем $y = c$ в уравнение: $c = \sqrt{x}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = c^2$.
Ответ: Да, пересекаются в точке $(c^2, c)$.

$y = c \ (c < 0)$. По условию $c$ — отрицательное число, поэтому оно не входит в область значений функции $y = \sqrt{x}$.
Ответ: Нет, не пересекаются.

310 Принадлежит ли графику зависимости $y = \sqrt{x}$ точка:

а) (225; 15);

б) (144; -12);

в) (-16; 4);

г) (0,01; 0,1);

д) (27; $\sqrt{27}$);

е) ($\sqrt{15}$; 15)?

Чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0; y_0)$ графику зависимости $y = \sqrt{x}$, необходимо подставить эти координаты в уравнение. Если равенство $y_0 = \sqrt{x_0}$ выполняется, точка принадлежит графику. Важно помнить, что область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$, а область значений — $y \ge 0$.

а) (225; 15)

Подставляем $x = 225$ и $y = 15$ в уравнение $y = \sqrt{x}$.

Получаем: $15 = \sqrt{225}$.

Так как $15^2 = 225$, равенство является верным.

Ответ: да, принадлежит.

б) (144; -12)

Подставляем $x = 144$ и $y = -12$ в уравнение $y = \sqrt{x}$.

Получаем: $-12 = \sqrt{144}$.

Арифметический квадратный корень из 144 равен 12, то есть $\sqrt{144} = 12$. Равенство $-12 = 12$ неверно. Также, значение $y$ для функции $y=\sqrt{x}$ не может быть отрицательным.

Ответ: нет, не принадлежит.

в) (-16; 4)

Подставляем $x = -16$ и $y = 4$ в уравнение $y = \sqrt{x}$.

Получаем: $4 = \sqrt{-16}$.

Арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел. Выражение $\sqrt{-16}$ не имеет смысла в области действительных чисел, так как $x = -16 < 0$.

Ответ: нет, не принадлежит.

г) (0,01; 0,1)

Подставляем $x = 0,01$ и $y = 0,1$ в уравнение $y = \sqrt{x}$.

Получаем: $0,1 = \sqrt{0,01}$.

Так как $0,1^2 = 0,01$, равенство является верным.

Ответ: да, принадлежит.

д) (27; $\sqrt{27}$)

Подставляем $x = 27$ и $y = \sqrt{27}$ в уравнение $y = \sqrt{x}$.

Получаем: $\sqrt{27} = \sqrt{27}$.

Это равенство верно по определению.

Ответ: да, принадлежит.

е) ($\sqrt{15}$; 15)

Подставляем $x = \sqrt{15}$ и $y = 15$ в уравнение $y = \sqrt{x}$.

Получаем: $15 = \sqrt{\sqrt{15}}$.

Чтобы проверить это равенство, возведем обе части в квадрат: $15^2 = (\sqrt{\sqrt{15}})^2$, что дает $225 = \sqrt{15}$. Это равенство неверно, так как $\sqrt{15} \approx 3,87$.

Ответ: нет, не принадлежит.

311 Определите, как расположена относительно графика зависимости $y = \sqrt{x}$ заданная точка — принадлежит графику, расположена выше графика или ниже графика:

A(121; 11)

B(64; 10)

C(24; $\sqrt{24}$)

D(38; 6)

E(0,2; 0,04)

F(0,04; 0,2)

Чтобы определить, как расположена заданная точка с координатами $(x_0, y_0)$ относительно графика зависимости $y = \sqrt{x}$, нужно подставить абсциссу точки $x_0$ в уравнение функции и вычислить соответствующее значение $y$ на графике. Обозначим это значение как $y_{граф}$. Затем необходимо сравнить ординату точки $y_0$ с вычисленным значением $y_{граф}$.
- Если $y_0 = y_{граф}$, то точка принадлежит графику.
- Если $y_0 > y_{граф}$, то точка расположена выше графика.
- Если $y_0 < y_{граф}$, то точка расположена ниже графика.

A(121; 11)

Имеем точку с координатами $x_0 = 121$ и $y_0 = 11$.
Вычислим значение функции при $x = 121$: $y_{граф} = \sqrt{121} = 11$.
Сравним ординату точки $y_0$ со значением на графике $y_{граф}$: $11 = 11$.
Так как значения равны, точка A принадлежит графику.
Ответ: принадлежит графику.

B(64; 10)

Имеем точку с координатами $x_0 = 64$ и $y_0 = 10$.
Вычислим значение функции при $x = 64$: $y_{граф} = \sqrt{64} = 8$.
Сравним ординату точки $y_0$ со значением на графике $y_{граф}$: $10 > 8$.
Так как ордината точки больше значения на графике, точка B расположена выше графика.
Ответ: расположена выше графика.

C(24; $\sqrt{24}$)

Имеем точку с координатами $x_0 = 24$ и $y_0 = \sqrt{24}$.
Вычислим значение функции при $x = 24$: $y_{граф} = \sqrt{24}$.
Сравним ординату точки $y_0$ со значением на графике $y_{граф}$: $\sqrt{24} = \sqrt{24}$.
Так как значения равны, точка C принадлежит графику.
Ответ: принадлежит графику.

D(38; 6)

Имеем точку с координатами $x_0 = 38$ и $y_0 = 6$.
Вычислим значение функции при $x = 38$: $y_{граф} = \sqrt{38}$.
Чтобы сравнить $y_0 = 6$ и $y_{граф} = \sqrt{38}$, сравним их квадраты, так как обе величины неотрицательны.
$y_0^2 = 6^2 = 36$.
$y_{граф}^2 = (\sqrt{38})^2 = 38$.
Поскольку $36 < 38$, то $6 < \sqrt{38}$.
Так как ордината точки меньше значения на графике, точка D расположена ниже графика.
Ответ: расположена ниже графика.

E(0,2; 0,04)

Имеем точку с координатами $x_0 = 0,2$ и $y_0 = 0,04$.
Вычислим значение функции при $x = 0,2$: $y_{граф} = \sqrt{0,2}$.
Сравним $y_0 = 0,04$ и $y_{граф} = \sqrt{0,2}$ путем сравнения их квадратов.
$y_0^2 = (0,04)^2 = 0,0016$.
$y_{граф}^2 = (\sqrt{0,2})^2 = 0,2$.
Поскольку $0,0016 < 0,2$, то $0,04 < \sqrt{0,2}$.
Так как ордината точки меньше значения на графике, точка E расположена ниже графика.
Ответ: расположена ниже графика.

F(0,04; 0,2)

Имеем точку с координатами $x_0 = 0,04$ и $y_0 = 0,2$.
Вычислим значение функции при $x = 0,04$: $y_{граф} = \sqrt{0,04} = 0,2$.
Сравним ординату точки $y_0$ со значением на графике $y_{граф}$: $0,2 = 0,2$.
Так как значения равны, точка F принадлежит графику.
Ответ: принадлежит графику.