Страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

320 a) $\sqrt{25 \cdot 121}$;

В) $\sqrt{1,44 \cdot 36}$;

Д) $\sqrt{0,09 \cdot 196}$;

б) $\sqrt{16 \cdot 900}$;

Г) $\sqrt{0,81 \cdot 0,49}$;

е) $\sqrt{1,69 \cdot 0,25}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{25 \cdot 121}$, применим свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$). Таким образом, мы можем разбить корень на произведение двух корней: $\sqrt{25 \cdot 121} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{121}$. Теперь вычислим каждый корень отдельно: $\sqrt{25} = 5$ и $\sqrt{121} = 11$. Перемножая результаты, получаем: $5 \cdot 11 = 55$.
Ответ: 55.

б) Для выражения $\sqrt{16 \cdot 900}$ используем то же свойство корня из произведения: $\sqrt{16 \cdot 900} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{900}$. Находим значения корней: $\sqrt{16} = 4$ и $\sqrt{900} = \sqrt{9 \cdot 100} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{100} = 3 \cdot 10 = 30$. Умножаем их: $4 \cdot 30 = 120$.
Ответ: 120.

в) Вычислим $\sqrt{1,44 \cdot 36}$. По свойству корня из произведения: $\sqrt{1,44 \cdot 36} = \sqrt{1,44} \cdot \sqrt{36}$. Извлекаем корни: $\sqrt{1,44} = 1,2$ (так как $1,2^2 = 1,44$) и $\sqrt{36} = 6$. Результат их произведения: $1,2 \cdot 6 = 7,2$.
Ответ: 7,2.

г) Для выражения $\sqrt{0,81 \cdot 0,49}$ применяем свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, что дает $\sqrt{0,81} \cdot \sqrt{0,49}$. Вычисляем корни из десятичных дробей: $\sqrt{0,81} = 0,9$ (так как $0,9^2 = 0,81$) и $\sqrt{0,49} = 0,7$ (так как $0,7^2 = 0,49$). Перемножаем полученные значения: $0,9 \cdot 0,7 = 0,63$.
Ответ: 0,63.

д) Вычислим $\sqrt{0,09 \cdot 196}$. Используя свойство корня из произведения, получаем: $\sqrt{0,09 \cdot 196} = \sqrt{0,09} \cdot \sqrt{196}$. Находим значения корней: $\sqrt{0,09} = 0,3$ (так как $0,3^2 = 0,09$) и $\sqrt{196} = 14$ (так как $14^2 = 196$). Произведение этих чисел равно: $0,3 \cdot 14 = 4,2$.
Ответ: 4,2.

е) Для последнего выражения $\sqrt{1,69 \cdot 0,25}$ снова используем свойство корня из произведения: $\sqrt{1,69 \cdot 0,25} = \sqrt{1,69} \cdot \sqrt{0,25}$. Вычисляем каждый корень: $\sqrt{1,69} = 1,3$ (так как $1,3^2 = 1,69$) и $\sqrt{0,25} = 0,5$ (так как $0,5^2 = 0,25$). Перемножаем их: $1,3 \cdot 0,5 = 0,65$.
Ответ: 0,65.

321 a) $\sqrt{\frac{25}{81}}$

б) $\sqrt{\frac{121}{36}}$

в) $\sqrt{\frac{0.49}{4}}$

г) $\sqrt{\frac{1.44}{25}}$

д) $\sqrt{2\frac{7}{9}}$

е) $\sqrt{1\frac{13}{36}}$

ж) $\sqrt{2\frac{14}{25}}$

з) $\sqrt{5\frac{1}{16}}$

а) Для вычисления квадратного корня из дроби воспользуемся свойством $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ для неотрицательных $a$ и положительных $b$.
$\sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} = \frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9}$.

б) Применяя то же свойство, что и в предыдущем пункте:
$\sqrt{\frac{121}{36}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{36}} = \frac{11}{6}$.
Данную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа $1\frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{11}{6}$.

в) Используем то же свойство для дроби с десятичным числителем:
$\sqrt{\frac{0,49}{4}} = \frac{\sqrt{0,49}}{\sqrt{4}} = \frac{0,7}{2} = 0,35$.
Ответ: $0,35$.

г) Аналогично вычисляем корень из дроби с десятичным числителем:
$\sqrt{\frac{1,44}{25}} = \frac{\sqrt{1,44}}{\sqrt{25}} = \frac{1,2}{5} = 0,24$.
Ответ: $0,24$.

д) В данном случае под знаком корня находится смешанное число. Сначала преобразуем его в неправильную дробь:
$2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18 + 7}{9} = \frac{25}{9}$.
Теперь извлечем корень из полученной дроби:
$\sqrt{2\frac{7}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}$.
В виде смешанного числа это $1\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

е) Преобразуем смешанное число $1\frac{13}{36}$ в неправильную дробь:
$1\frac{13}{36} = \frac{1 \cdot 36 + 13}{36} = \frac{36 + 13}{36} = \frac{49}{36}$.
Далее извлекаем корень:
$\sqrt{1\frac{13}{36}} = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{36}} = \frac{7}{6}$.
В виде смешанного числа это $1\frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{7}{6}$.

ж) Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{14}{25}$ в неправильную дробь:
$2\frac{14}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 14}{25} = \frac{50 + 14}{25} = \frac{64}{25}$.
Теперь вычислим корень:
$\sqrt{2\frac{14}{25}} = \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5}$.
В виде десятичной дроби это $1,6$.
Ответ: $\frac{8}{5}$.

з) Преобразуем смешанное число $5\frac{1}{16}$ в неправильную дробь:
$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.
Вычислим корень из этой дроби:
$\sqrt{5\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4}$.
В виде десятичной дроби это $2,25$.
Ответ: $\frac{9}{4}$.

322 а) $\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}};$

б) $\sqrt{\frac{64}{9} \cdot \frac{4}{49}};$

В) $\sqrt{\frac{0,25 \cdot 49}{9}};$

Г) $\sqrt{\frac{169 \cdot 81}{400}}.$

а) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}} $ воспользуемся свойством "корень из произведения равен произведению корней": $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $.
$ \sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{1}{16}} \cdot \sqrt{\frac{9}{25}} $
Теперь применим свойство "корень из дроби равен частному корней": $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.
$ \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{3}{20} $.
Ответ: $ \frac{3}{20} $

б) Вычислим значение выражения $ \sqrt{\frac{64}{9} \cdot \frac{4}{49}} $. Используем те же свойства, что и в предыдущем пункте.
$ \sqrt{\frac{64}{9} \cdot \frac{4}{49}} = \sqrt{\frac{64}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{49}} $
Извлекаем корни из каждого числа:
$ \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{16}{21} $.
Ответ: $ \frac{16}{21} $

в) Для вычисления $ \sqrt{\frac{0,25 \cdot 49}{9}} $ применим свойство корня из частного и произведения: $ \sqrt{\frac{a \cdot b}{c}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{c}} $.
$ \sqrt{\frac{0,25 \cdot 49}{9}} = \frac{\sqrt{0,25} \cdot \sqrt{49}}{\sqrt{9}} $
Вычислим значения корней: $ \sqrt{0,25} = 0,5 $, $ \sqrt{49} = 7 $, $ \sqrt{9} = 3 $.
Подставим значения в выражение:
$ \frac{0,5 \cdot 7}{3} = \frac{3,5}{3} $
Чтобы избавиться от десятичной дроби, представим $ 0,5 $ как обыкновенную дробь $ \frac{1}{2} $:
$ \frac{\frac{1}{2} \cdot 7}{3} = \frac{\frac{7}{2}}{3} = \frac{7}{2 \cdot 3} = \frac{7}{6} $.
Ответ: $ \frac{7}{6} $

г) Вычислим значение выражения $ \sqrt{\frac{169 \cdot 81}{400}} $.
Используем свойство корня из дроби, которая содержит произведение в числителе:
$ \sqrt{\frac{169 \cdot 81}{400}} = \frac{\sqrt{169 \cdot 81}}{\sqrt{400}} = \frac{\sqrt{169} \cdot \sqrt{81}}{\sqrt{400}} $
Извлекаем корни из каждого числа: $ \sqrt{169} = 13 $, $ \sqrt{81} = 9 $, $ \sqrt{400} = 20 $.
Подставляем значения и вычисляем:
$ \frac{13 \cdot 9}{20} = \frac{117}{20} $.
Ответ: $ \frac{117}{20} $

323 a) $\sqrt{4 \cdot 9 \cdot 0,36}$;

б) $\sqrt{0,64 \cdot 0,04 \cdot 1,21}$;

в) $\sqrt{2,25 \cdot 0,04 \cdot 900}$;

г) $\sqrt{9,61 \cdot 0,01 \cdot 400}$;

д) $\sqrt{2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{100}}$;

е) $\sqrt{2\frac{14}{121} \cdot 1\frac{7}{9} \cdot \frac{1}{9}}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{4 \cdot 9 \cdot 0,36}$ воспользуемся свойством квадратного корня из произведения: корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей, то есть $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$ для $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$.

$\sqrt{4 \cdot 9 \cdot 0,36} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{0,36}$

Вычислим значения каждого корня по отдельности:

$\sqrt{4} = 2$

$\sqrt{9} = 3$

$\sqrt{0,36} = 0,6$

Теперь перемножим полученные значения:

$2 \cdot 3 \cdot 0,6 = 6 \cdot 0,6 = 3,6$

Ответ: $3,6$.

б) Аналогично предыдущему пункту, применим свойство корня из произведения.

$\sqrt{0,64 \cdot 0,04 \cdot 1,21} = \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{1,21}$

Вычислим значения каждого корня:

$\sqrt{0,64} = 0,8$

$\sqrt{0,04} = 0,2$

$\sqrt{1,21} = 1,1$

Перемножим полученные результаты:

$0,8 \cdot 0,2 \cdot 1,1 = 0,16 \cdot 1,1 = 0,176$

Ответ: $0,176$.

в) Используем свойство корня из произведения.

$\sqrt{2,25 \cdot 0,04 \cdot 900} = \sqrt{2,25} \cdot \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{900}$

Вычислим значения каждого корня:

$\sqrt{2,25} = 1,5$

$\sqrt{0,04} = 0,2$

$\sqrt{900} = 30$

Перемножим полученные значения:

$1,5 \cdot 0,2 \cdot 30 = 0,3 \cdot 30 = 9$

Ответ: $9$.

г) Для удобства вычислений сначала упростим произведение под корнем.

$\sqrt{9,61 \cdot 0,01 \cdot 400} = \sqrt{9,61 \cdot (0,01 \cdot 400)} = \sqrt{9,61 \cdot 4}$

Теперь применим свойство корня из произведения:

$\sqrt{9,61 \cdot 4} = \sqrt{9,61} \cdot \sqrt{4}$

Вычислим значения каждого корня:

$\sqrt{9,61} = 3,1$

$\sqrt{4} = 2$

Перемножим полученные результаты:

$3,1 \cdot 2 = 6,2$

Ответ: $6,2$.

д) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$

Подставим полученные дроби в исходное выражение:

$\sqrt{2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{100}} = \sqrt{\frac{9}{4} \cdot \frac{25}{16} \cdot \frac{1}{100}}$

Применим свойство корня из произведения, а затем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{9}{4}} \cdot \sqrt{\frac{25}{16}} \cdot \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{10}$

Перемножим дроби:

$\frac{3 \cdot 5 \cdot 1}{2 \cdot 4 \cdot 10} = \frac{15}{80}$

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{15}{80} = \frac{3}{16}$

Ответ: $\frac{3}{16}$.

е) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$2\frac{14}{121} = \frac{2 \cdot 121 + 14}{121} = \frac{242 + 14}{121} = \frac{256}{121}$

$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$

Подставим дроби в исходное выражение:

$\sqrt{2\frac{14}{121} \cdot 1\frac{7}{9} \cdot \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{256}{121} \cdot \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{9}}$

Применим свойство корня из произведения, а затем свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{256}{121}} \cdot \sqrt{\frac{16}{9}} \cdot \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{121}} \cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{16}{11} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Перемножим дроби:

$\frac{16 \cdot 4 \cdot 1}{11 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{64}{99}$

Ответ: $\frac{64}{99}$.

324 ДОКАЗЫВАЕМ

а) Докажите, что $\sqrt{5^8} = 5^4$; $\sqrt{3^{20}} = 3^{10}$.

б) Докажите свойство: $\sqrt{a^{2n}} = a^n$, где $a \ge 0$ и $n \in N$.

a) Для доказательства равенств воспользуемся определением арифметического квадратного корня. Согласно определению, $\sqrt{x} = y$ тогда и только тогда, когда выполняются два условия: 1) $y \ge 0$ и 2) $y^2 = x$.

Доказательство для $\sqrt{5^8} = 5^4$:
Проверим оба условия для $y = 5^4$ и $x = 5^8$.
1. Проверка на неотрицательность: Число $5^4$ является степенью положительного числа, поэтому $5^4 > 0$. Условие $y \ge 0$ выполнено.
2. Проверка квадрата: Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, находим квадрат выражения $5^4$: $(5^4)^2 = 5^{4 \cdot 2} = 5^8$. Результат равен подкоренному выражению $x$. Условие $y^2 = x$ выполнено.
Поскольку оба условия верны, равенство $\sqrt{5^8} = 5^4$ доказано.

Доказательство для $\sqrt{3^{20}} = 3^{10}$:
Проверим оба условия для $y = 3^{10}$ и $x = 3^{20}$.
1. Проверка на неотрицательность: $3^{10} > 0$. Условие $y \ge 0$ выполнено.
2. Проверка квадрата: $(3^{10})^2 = 3^{10 \cdot 2} = 3^{20}$. Результат равен подкоренному выражению $x$. Условие $y^2 = x$ выполнено.
Поскольку оба условия верны, равенство $\sqrt{3^{20}} = 3^{10}$ доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Для доказательства свойства $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ при условиях $a \ge 0$ и $n \in \mathbb{N}$ (где $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел), необходимо, согласно определению арифметического квадратного корня, показать, что выражение $a^n$ неотрицательно и его квадрат равен подкоренному выражению $a^{2n}$.

Проверим последовательно два условия:
1. Проверка на неотрицательность ($a^n \ge 0$):
По условию дано, что $a \ge 0$. Рассмотрим два случая:
- Если $a > 0$, то и любая его натуральная степень $a^n$ будет положительной, то есть $a^n > 0$.
- Если $a = 0$, то $a^n = 0^n = 0$ для любого натурального $n \ge 1$.
Таким образом, для любого $a \ge 0$ и $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $a^n \ge 0$. Первое условие доказано.

2. Проверка квадрата ($(a^n)^2 = a^{2n}$):
Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(x^m)^k = x^{mk}$:
$(a^n)^2 = a^{n \cdot 2} = a^{2n}$.
Результат в точности совпадает с подкоренным выражением. Второе условие доказано.

Так как оба условия определения арифметического квадратного корня выполнены, свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ при $a \ge 0$ и $n \in \mathbb{N}$ является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

325 Пользуясь свойством, доказанным в упражнении 324, упростите выражение:

а) $\sqrt{2^{22}}$;

б) $\sqrt{3^{14}}$;

в) $\sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}}$;

г) $\sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{2^{22}} $, воспользуемся свойством квадратного корня из степени с четным показателем: $ \sqrt{a^{2k}} = a^k $ для $ a \ge 0 $. Это свойство следует из определения корня и свойств степени: $ \sqrt{a^{2k}} = (a^{2k})^{1/2} = a^{2k \cdot \frac{1}{2}} = a^k $.
В данном случае $ a = 2 $ и показатель степени $ 22 $. Мы можем представить $ 22 $ как $ 2 \cdot 11 $.
Таким образом, $ \sqrt{2^{22}} = 2^{22/2} = 2^{11} $.
Ответ: $ 2^{11} $.

б) Упростим выражение $ \sqrt{3^{14}} $. Аналогично предыдущему пункту, применим свойство $ \sqrt{a^{2k}} = a^k $.
Здесь $ a = 3 $, а показатель степени $ 14 $ можно представить как $ 2 \cdot 7 $.
Следовательно, $ \sqrt{3^{14}} = 3^{14/2} = 3^7 $.
Ответ: $ 3^7 $.

в) Рассмотрим выражение $ \sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}} $. Воспользуемся свойством корня из произведения $ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ (для $ a \ge 0, b \ge 0 $):
$ \sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}} = \sqrt{2^{100}} \cdot \sqrt{3^{50}} $.
Теперь упростим каждый множитель отдельно, используя свойство $ \sqrt{a^{2k}} = a^k $:
$ \sqrt{2^{100}} = 2^{100/2} = 2^{50} $.
$ \sqrt{3^{50}} = 3^{50/2} = 3^{25} $.
Получаем произведение $ 2^{50} \cdot 3^{25} $.
Чтобы упростить его дальше, приведем множители к одному показателю степени. Заметим, что $ 50 = 2 \cdot 25 $.
$ 2^{50} = 2^{2 \cdot 25} = (2^2)^{25} = 4^{25} $.
Теперь выражение имеет вид: $ 4^{25} \cdot 3^{25} $.
Используя свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $ a^n \cdot b^n = (ab)^n $, получаем:
$ 4^{25} \cdot 3^{25} = (4 \cdot 3)^{25} = 12^{25} $.
Ответ: $ 12^{25} $.

г) Рассмотрим выражение $ \sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}} $. Используем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}} = \sqrt{5^{28}} \cdot \sqrt{2^{20}} $.
Упрощаем каждый множитель:
$ \sqrt{5^{28}} = 5^{28/2} = 5^{14} $.
$ \sqrt{2^{20}} = 2^{20/2} = 2^{10} $.
Получаем произведение $ 5^{14} \cdot 2^{10} $.
Для дальнейшего упрощения представим $ 5^{14} $ как $ 5^{4+10} $, что по свойству степеней равно $ 5^4 \cdot 5^{10} $.
Выражение примет вид: $ 5^4 \cdot 5^{10} \cdot 2^{10} $.
Сгруппируем степени с одинаковым показателем: $ 5^4 \cdot (5^{10} \cdot 2^{10}) $.
Применим свойство $ a^n \cdot b^n = (ab)^n $:
$ 5^4 \cdot (5 \cdot 2)^{10} = 5^4 \cdot 10^{10} $.
Вычислим $ 5^4 $: $ 5^4 = 625 $.
Окончательный вид выражения: $ 625 \cdot 10^{10} $.
Ответ: $ 625 \cdot 10^{10} $.

Вычислите (326–327).

326 a) $\sqrt{24^2 \cdot 3^2};$

б) $\sqrt{13^2 \cdot 2^6};$

в) $\sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^6};$

г) $\sqrt{3^4 \cdot 5^4 \cdot 2^8};$

д) $\sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^8}{5^2}};$

е) $\sqrt{\frac{3^4}{2^6 \cdot 5^6}}.$

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и правилом извлечения корня из степени с четным показателем $\sqrt{x^{2n}} = x^n$ (для $x \ge 0$).
$\sqrt{24^2 \cdot 3^2} = \sqrt{24^2} \cdot \sqrt{3^2} = 24 \cdot 3 = 72$.
Альтернативный способ заключается в использовании свойства степени $(ab)^n=a^nb^n$ для преобразования подкоренного выражения:
$\sqrt{24^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(24 \cdot 3)^2} = \sqrt{72^2} = 72$.
Ответ: 72.

б) Применим те же свойства. Представим степень $2^6$ как квадрат выражения: $2^6 = (2^3)^2$.
$\sqrt{13^2 \cdot 2^6} = \sqrt{13^2} \cdot \sqrt{2^6} = \sqrt{13^2} \cdot \sqrt{(2^3)^2} = 13 \cdot 2^3 = 13 \cdot 8 = 104$.
Ответ: 104.

в) Используем свойство корня из произведения для трех множителей и представляем степени под корнем в виде квадратов: $2^4 = (2^2)^2$ и $5^6 = (5^3)^2$.
$\sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^6} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^6} = \sqrt{(2^2)^2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{(5^3)^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^3$.
Вычислим произведение: $4 \cdot 3 \cdot 125 = 12 \cdot 125 = 1500$.
Ответ: 1500.

г) Решение аналогично предыдущему примеру. Представим все степени в виде квадратов: $3^4 = (3^2)^2$, $5^4 = (5^2)^2$, $2^8 = (2^4)^2$.
$\sqrt{3^4 \cdot 5^4 \cdot 2^8} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{2^8} = \sqrt{(3^2)^2} \cdot \sqrt{(5^2)^2} \cdot \sqrt{(2^4)^2} = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 2^4$.
Вычислим произведение: $9 \cdot 25 \cdot 16 = 9 \cdot (25 \cdot 16) = 9 \cdot 400 = 3600$.
Ответ: 3600.

д) Используем свойство корня из частного $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^8}{5^2}} = \frac{\sqrt{3^2 \cdot 2^8}}{\sqrt{5^2}} = \frac{\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^8}}{5} = \frac{3 \cdot \sqrt{(2^4)^2}}{5} = \frac{3 \cdot 2^4}{5} = \frac{3 \cdot 16}{5} = \frac{48}{5}$.
Это можно представить в виде десятичной дроби: $48 \div 5 = 9,6$.
Ответ: $\frac{48}{5}$ (или 9,6).

е) Применяем свойство корня из частного. В знаменателе для удобства вычислений сгруппируем множители с одинаковой степенью: $2^6 \cdot 5^6 = (2 \cdot 5)^6 = 10^6$.
$\sqrt{\frac{3^4}{2^6 \cdot 5^6}} = \sqrt{\frac{3^4}{10^6}} = \frac{\sqrt{3^4}}{\sqrt{10^6}}$.
Вычисляем числитель и знаменатель, извлекая корни: $\frac{\sqrt{(3^2)^2}}{\sqrt{(10^3)^2}} = \frac{3^2}{10^3} = \frac{9}{1000}$.
В виде десятичной дроби это равно 0,009.
Ответ: $\frac{9}{1000}$ (или 0,009).

327 a) $\sqrt{125 \cdot 5}$;

б) $\sqrt{8 \cdot 98}$;

в) $\sqrt{48 \cdot 27}$;

г) $\sqrt{810 \cdot 10}$;

д) $\sqrt{50 \cdot 72}$;

е) $\sqrt{30 \cdot 480}$.

Образец. $\sqrt{135 \cdot 15} = \sqrt{5 \cdot 27 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{5^2 \cdot 3^4} = 45$.

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{125 \cdot 5}$, разложим число 125 на множители: $125 = 25 \cdot 5$. Подставим это в исходное выражение: $\sqrt{125 \cdot 5} = \sqrt{(25 \cdot 5) \cdot 5} = \sqrt{25 \cdot 5^2}$. Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$), получим: $\sqrt{25 \cdot 5^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5^2} = 5 \cdot 5 = 25$.
Ответ: 25

б) Для вычисления $\sqrt{8 \cdot 98}$ разложим оба числа под корнем на множители таким образом, чтобы выделить полные квадраты. $8 = 4 \cdot 2$ и $98 = 49 \cdot 2$. Тогда выражение можно переписать в виде: $\sqrt{(4 \cdot 2) \cdot (49 \cdot 2)} = \sqrt{4 \cdot 49 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{4 \cdot 49 \cdot 4} = \sqrt{16 \cdot 49}$. Теперь извлечем корень из каждого множителя: $\sqrt{16} \cdot \sqrt{49} = 4 \cdot 7 = 28$.
Ответ: 28

в) Разложим числа 48 и 27 на множители, чтобы упростить выражение $\sqrt{48 \cdot 27}$. $48 = 16 \cdot 3$, а $27 = 9 \cdot 3$. Подставим разложения в выражение: $\sqrt{(16 \cdot 3) \cdot (9 \cdot 3)} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 3^2}$. Теперь извлечем корень из каждого множителя: $\sqrt{16} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3^2} = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36$.
Ответ: 36

г) Для вычисления $\sqrt{810 \cdot 10}$ представим число 810 как произведение $81 \cdot 10$. Тогда выражение можно записать в виде: $\sqrt{(81 \cdot 10) \cdot 10} = \sqrt{81 \cdot 10^2}$. Извлечем корень из каждого множителя: $\sqrt{81} \cdot \sqrt{10^2} = 9 \cdot 10 = 90$.
Ответ: 90

д) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{50 \cdot 72}$, разложим числа 50 и 72 на удобные множители. $50 = 25 \cdot 2$, а $72 = 36 \cdot 2$. Подставим эти разложения в исходное выражение: $\sqrt{(25 \cdot 2) \cdot (36 \cdot 2)} = \sqrt{25 \cdot 36 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 36 \cdot 4}$. Теперь извлечем корень из каждого множителя: $\sqrt{25} \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{4} = 5 \cdot 6 \cdot 2 = 60$.
Ответ: 60

е) Для вычисления $\sqrt{30 \cdot 480}$ разложим множители под корнем. Заметим, что $480 = 48 \cdot 10$. Тогда выражение можно переписать так: $\sqrt{30 \cdot 48 \cdot 10}$. Теперь разложим 30 на $3 \cdot 10$ и 48 на $3 \cdot 16$: $\sqrt{(3 \cdot 10) \cdot (3 \cdot 16) \cdot 10} = \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 16} = \sqrt{3^2 \cdot 10^2 \cdot 16}$. Извлечем корень из каждого множителя: $\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{10^2} \cdot \sqrt{16} = 3 \cdot 10 \cdot 4 = 120$.
Ответ: 120

328 Возведите число 34 в квадрат. Пользуясь полученным результатом, вычислите: $\sqrt{1156}$, $\sqrt{115600}$, $\sqrt{11,56}$, $\sqrt{0,1156}$.

Для решения задачи сначала возведем число 34 в квадрат:

$34^2 = 34 \times 34 = 1156$

Из этого следует, что арифметический квадратный корень из 1156 равен 34, то есть $\sqrt{1156} = 34$.

Теперь, используя полученный результат, вычислим значения заданных выражений.

$\sqrt{1156}$

Согласно вычислению, произведенному выше, если $34^2 = 1156$, то по определению квадратного корня $\sqrt{1156} = 34$.

Ответ: 34.

$\sqrt{115600}$

Представим подкоренное выражение в виде произведения, используя известное нам число 1156:

$115600 = 1156 \times 100$

Воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$\sqrt{115600} = \sqrt{1156 \times 100} = \sqrt{1156} \times \sqrt{100} = 34 \times 10 = 340$

Ответ: 340.

$\sqrt{11,56}$

Представим десятичную дробь под корнем в виде обыкновенной дроби:

$11,56 = \frac{1156}{100}$

Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{11,56} = \sqrt{\frac{1156}{100}} = \frac{\sqrt{1156}}{\sqrt{100}} = \frac{34}{10} = 3,4$

Ответ: 3,4.

$\sqrt{0,1156}$

Аналогично предыдущему примеру, представим подкоренное выражение в виде дроби:

$0,1156 = \frac{1156}{10000}$

Вычислим значение корня:

$\sqrt{0,1156} = \sqrt{\frac{1156}{10000}} = \frac{\sqrt{1156}}{\sqrt{10000}} = \frac{34}{100} = 0,34$

Ответ: 0,34.