Номер 326, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 326, страница 94.

Условие.

Вычислите (326–327).

326 a) $\sqrt{24^2 \cdot 3^2};$

б) $\sqrt{13^2 \cdot 2^6};$

в) $\sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^6};$

г) $\sqrt{3^4 \cdot 5^4 \cdot 2^8};$

д) $\sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^8}{5^2}};$

е) $\sqrt{\frac{3^4}{2^6 \cdot 5^6}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и правилом извлечения корня из степени с четным показателем $\sqrt{x^{2n}} = x^n$ (для $x \ge 0$).
$\sqrt{24^2 \cdot 3^2} = \sqrt{24^2} \cdot \sqrt{3^2} = 24 \cdot 3 = 72$.
Альтернативный способ заключается в использовании свойства степени $(ab)^n=a^nb^n$ для преобразования подкоренного выражения:
$\sqrt{24^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(24 \cdot 3)^2} = \sqrt{72^2} = 72$.
Ответ: 72.

б) Применим те же свойства. Представим степень $2^6$ как квадрат выражения: $2^6 = (2^3)^2$.
$\sqrt{13^2 \cdot 2^6} = \sqrt{13^2} \cdot \sqrt{2^6} = \sqrt{13^2} \cdot \sqrt{(2^3)^2} = 13 \cdot 2^3 = 13 \cdot 8 = 104$.
Ответ: 104.

в) Используем свойство корня из произведения для трех множителей и представляем степени под корнем в виде квадратов: $2^4 = (2^2)^2$ и $5^6 = (5^3)^2$.
$\sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^6} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^6} = \sqrt{(2^2)^2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{(5^3)^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^3$.
Вычислим произведение: $4 \cdot 3 \cdot 125 = 12 \cdot 125 = 1500$.
Ответ: 1500.

г) Решение аналогично предыдущему примеру. Представим все степени в виде квадратов: $3^4 = (3^2)^2$, $5^4 = (5^2)^2$, $2^8 = (2^4)^2$.
$\sqrt{3^4 \cdot 5^4 \cdot 2^8} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{2^8} = \sqrt{(3^2)^2} \cdot \sqrt{(5^2)^2} \cdot \sqrt{(2^4)^2} = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 2^4$.
Вычислим произведение: $9 \cdot 25 \cdot 16 = 9 \cdot (25 \cdot 16) = 9 \cdot 400 = 3600$.
Ответ: 3600.

д) Используем свойство корня из частного $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^8}{5^2}} = \frac{\sqrt{3^2 \cdot 2^8}}{\sqrt{5^2}} = \frac{\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^8}}{5} = \frac{3 \cdot \sqrt{(2^4)^2}}{5} = \frac{3 \cdot 2^4}{5} = \frac{3 \cdot 16}{5} = \frac{48}{5}$.
Это можно представить в виде десятичной дроби: $48 \div 5 = 9,6$.
Ответ: $\frac{48}{5}$ (или 9,6).

е) Применяем свойство корня из частного. В знаменателе для удобства вычислений сгруппируем множители с одинаковой степенью: $2^6 \cdot 5^6 = (2 \cdot 5)^6 = 10^6$.
$\sqrt{\frac{3^4}{2^6 \cdot 5^6}} = \sqrt{\frac{3^4}{10^6}} = \frac{\sqrt{3^4}}{\sqrt{10^6}}$.
Вычисляем числитель и знаменатель, извлекая корни: $\frac{\sqrt{(3^2)^2}}{\sqrt{(10^3)^2}} = \frac{3^2}{10^3} = \frac{9}{1000}$.
В виде десятичной дроби это равно 0,009.
Ответ: $\frac{9}{1000}$ (или 0,009).