Номер 332, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 332, страница 95.

Условие.

332 Упростите:

а) $2\sqrt{7} \cdot \sqrt{2};$

б) $4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3};$

в) $\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2};$

г) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{12};$

д) $\frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{10}}{3};$

е) $\sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{\frac{12}{5}};$

ж) $\frac{\sqrt{333}}{\sqrt{111}};$

з) $\frac{3\sqrt{51}}{2\sqrt{17}};$

и) $\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{10}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $2\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}$, используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Умножим подкоренные выражения, оставив коэффициент без изменений.
$2\sqrt{7} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{7 \cdot 2} = 2\sqrt{14}$.
Число 14 не содержит множителей, являющихся полными квадратами, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $2\sqrt{14}$.

б) Чтобы упростить выражение $4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3}$, сгруппируем и перемножим отдельно рациональные множители (коэффициенты перед корнями) и иррациональные множители (корни).
$4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3} = (4 \cdot 3) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}) = 12 \cdot \sqrt{5 \cdot 3} = 12\sqrt{15}$.
Ответ: $12\sqrt{15}$.

в) Для упрощения выражения $\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}$ перемножим подкоренные выражения, оставив коэффициент 3 без изменений.
$3 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}) = 3\sqrt{3 \cdot 5 \cdot 2} = 3\sqrt{30}$.
Ответ: $3\sqrt{30}$.

г) Для упрощения дроби $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{12}$ объединим множители в числителе под один знак корня.
$\frac{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 6}}{12} = \frac{\sqrt{36}}{12}$.
Теперь извлечем квадратный корень из 36.
$\frac{6}{12}$.
Сократим полученную дробь.
$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

д) Упростим выражение $\frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{10}}{3}$. Объединим множители в числителе под одним корнем.
$\frac{\sqrt{15 \cdot 6 \cdot 10}}{3}$.
Для удобства извлечения корня разложим подкоренные числа на простые множители.
$\frac{\sqrt{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)}}{3} = \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}}{3} = \frac{\sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 5)^2}}{3}$.
Извлечем корень.
$\frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{3} = \frac{30}{3}$.
Выполним деление.
$10$.
Ответ: $10$.

е) Чтобы упростить выражение $\sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{\frac{12}{5}}$, воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.
$\sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{12}{5}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 12}{3 \cdot 5}}$.
Сократим дробь под знаком корня.
$\sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4}$.
Извлечем корень.
$2$.
Ответ: $2$.

ж) Для упрощения дроби $\frac{\sqrt{333}}{\sqrt{111}}$ воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\sqrt{\frac{333}{111}}$.
Выполним деление под корнем.
$\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

з) Упростим выражение $\frac{3\sqrt{51}}{2\sqrt{17}}$. Представим его как произведение дроби из коэффициентов и дроби из корней.
$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{51}}{\sqrt{17}}$.
Применим свойство частного корней.
$\frac{3}{2} \cdot \sqrt{\frac{51}{17}}$.
Разделим числа под корнем ($51 \div 17 = 3$).
$\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

и) Упростим выражение $\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{10}}$. Объединим все под один знак корня, используя свойства $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\sqrt{\frac{5 \cdot 8}{10}} = \sqrt{\frac{40}{10}}$.
Выполним деление под корнем.
$\sqrt{4}$.
Извлечем корень.
$2$.
Ответ: $2$.