Номер 334, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 334, страница 95.

Условие.

334 Сравните значения выражений:

а) $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$ и $\sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$;

б) $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}}$ и $\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} $;

в) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}}$ и $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}$;

г) $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Сравним значения выражений $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$ и $\sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$.
Для этого сначала упростим каждое выражение. Используем свойство умножения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Первое выражение: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$.
Второе выражение: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{7 \cdot 5} = \sqrt{35}$.
Теперь сравним полученные результаты: $6$ и $\sqrt{35}$.
Чтобы сравнить целое число с корнем, возведем оба числа в квадрат. Так как оба числа положительные, знак неравенства сохранится.
$6^2 = 36$
$(\sqrt{35})^2 = 35$
Поскольку $36 > 35$, то и $6 > \sqrt{35}$.
Следовательно, $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} > \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} > \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$.

б) Сравним значения выражений $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}}$ и $\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}$.
Упростим оба выражения, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Первое выражение: $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{12}}$.
Второе выражение: $\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{12}}$.
Полученные значения равны.
Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}$.

в) Сравним значения выражений $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}}$ и $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}$.
Упростим каждое выражение, используя свойство частного корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
Первое выражение: $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{72}{12}} = \sqrt{6}$.
Второе выражение: $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{35}{5}} = \sqrt{7}$.
Теперь сравним полученные результаты: $\sqrt{6}$ и $\sqrt{7}$.
Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, то из $6 < 7$ следует, что $\sqrt{6} < \sqrt{7}$.
Следовательно, $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} < \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} < \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}$.

г) Сравним значения выражений $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$.
Упростим оба выражения, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Первое выражение: $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$.
Второе выражение: $\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3}{12}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Теперь сравним полученные результаты: $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\frac{1}{2}$.
Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(\sqrt{\frac{1}{3}})^2 = \frac{1}{3}$
$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
Сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Приведем их к общему знаменателю $12$: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ и $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$.
Так как $4 > 3$, то $\frac{4}{12} > \frac{3}{12}$, а значит $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$.
Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{3}} > \frac{1}{2}$, и $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} > \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} > \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$.