Страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

329 Зная, что $\sqrt{45} \approx 6,708$, найдите приближённое значение выражения: $\sqrt{4500}$, $\sqrt{450000}$, $\sqrt{0,45}$, $\sqrt{0,0045}$.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (330–331) Вычислите:

Для нахождения приближенных значений выражений воспользуемся известным значением $\sqrt{45} \approx 6,708$ и свойством квадратного корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Мы будем представлять подкоренные выражения в виде произведения числа $45$ на степень $10$ с четным показателем (например, $100=10^2$, $10000=10^4$, $0,01=10^{-2}$ и т.д.), чтобы можно было легко извлечь корень из этого множителя.

$\sqrt{4500}$. Представим число $4500$ как произведение $45 \cdot 100$.
$\sqrt{4500} = \sqrt{45 \cdot 100} = \sqrt{45} \cdot \sqrt{100} = \sqrt{45} \cdot 10$.
Подставим приближенное значение $\sqrt{45}$:
$\sqrt{4500} \approx 6,708 \cdot 10 = 67,08$.
Ответ: $67,08$.

$\sqrt{450000}$. Представим число $450000$ как произведение $45 \cdot 10000$.
$\sqrt{450000} = \sqrt{45 \cdot 10000} = \sqrt{45} \cdot \sqrt{10000} = \sqrt{45} \cdot 100$.
Подставим приближенное значение $\sqrt{45}$:
$\sqrt{450000} \approx 6,708 \cdot 100 = 670,8$.
Ответ: $670,8$.

$\sqrt{0,45}$. Представим число $0,45$ как частное $\frac{45}{100}$.
$\sqrt{0,45} = \sqrt{\frac{45}{100}} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{45}}{10}$.
Подставим приближенное значение $\sqrt{45}$:
$\sqrt{0,45} \approx \frac{6,708}{10} = 0,6708$.
Ответ: $0,6708$.

$\sqrt{0,0045}$. Представим число $0,0045$ как частное $\frac{45}{10000}$.
$\sqrt{0,0045} = \sqrt{\frac{45}{10000}} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{10000}} = \frac{\sqrt{45}}{100}$.
Подставим приближенное значение $\sqrt{45}$:
$\sqrt{0,0045} \approx \frac{6,708}{100} = 0,06708$.
Ответ: $0,06708$.

330 Вычислите:

a) $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{32} $;

б) $ \sqrt{5} \cdot \sqrt{45} $;

в) $ \sqrt{50} \cdot \sqrt{2} $;

г) $ \sqrt{242} \cdot \sqrt{8} $;

д) $ \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}} $;

е) $ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}} $;

ж) $ \frac{\sqrt{90}}{\sqrt{40}} $;

з) $ \frac{\sqrt{300}}{\sqrt{27}} $.

а) Для вычисления произведения корней $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Применим это свойство: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64}$.
Квадратный корень из 64 равен 8, так как $8^2 = 64$.
Следовательно, $\sqrt{64} = 8$.
Ответ: 8.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{5} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{5 \cdot 45} = \sqrt{225}$.
Квадратный корень из 225 равен 15, так как $15^2 = 225$.
Следовательно, $\sqrt{225} = 15$.
Ответ: 15.

в) Используем то же свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{50} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{50 \cdot 2} = \sqrt{100}$.
Квадратный корень из 100 равен 10.
Следовательно, $\sqrt{100} = 10$.
Ответ: 10.

г) В данном случае удобнее сначала упростить каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня, используя свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Упростим первый корень: $\sqrt{242} = \sqrt{121 \cdot 2} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{2} = 11\sqrt{2}$.
Упростим второй корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$11\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = (11 \cdot 2) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 22 \cdot 2 = 44$.
Ответ: 44.

д) Для вычисления частного корней $\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}}$ воспользуемся свойством корня из частного: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
Применим это свойство: $\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{108}{3}} = \sqrt{36}$.
Квадратный корень из 36 равен 6.
Следовательно, $\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6.

е) Используем свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}} = \sqrt{\frac{6}{150}}$.
Сократим подкоренную дробь: $\frac{6}{150} = \frac{6 \div 6}{150 \div 6} = \frac{1}{25}$.
Получаем: $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

ж) Используем свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{40}} = \sqrt{\frac{90}{40}}$.
Сократим подкоренную дробь, убрав нули: $\frac{90}{40} = \frac{9}{4}$.
Получаем: $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

з) Используем свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{27}} = \sqrt{\frac{300}{27}}$.
Сократим подкоренную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{300 \div 3}{27 \div 3} = \frac{100}{9}$.
Получаем: $\sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3}$.
Ответ: $\frac{10}{3}$.

331 a) $ (2\sqrt{3})^2 \cdot 5 $;

б) $ \frac{(3\sqrt{2})^2}{36} $;

В) $ (\sqrt{3})^3 \cdot \sqrt{48} $;

Г) $ \frac{25\sqrt{3}}{(5\sqrt{3})^3} $.

а) Для вычисления выражения $(2\sqrt{3})^2 \cdot 5$ сначала возведем в квадрат множитель в скобках. Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$. Затем умножим результат на 5: $12 \cdot 5 = 60$.
Ответ: 60

б) Рассмотрим выражение $\frac{(3\sqrt{2})^2}{36}$. Сначала вычислим числитель. Возведем в квадрат выражение в скобках: $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. Теперь разделим результат на знаменатель: $\frac{18}{36}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 18: $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Найдем значение выражения $(\sqrt{3})^3 \cdot \sqrt{48}$. Упростим каждый множитель. Первый множитель: $(\sqrt{3})^3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$. Второй множитель, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$. Теперь перемножим полученные выражения: $3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = (3 \cdot 4) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 12 \cdot 3 = 36$.
Ответ: 36

г) Упростим выражение $\frac{25\sqrt{3}}{(5\sqrt{3})^3}$. Сначала раскроем степень в знаменателе: $(5\sqrt{3})^3 = 5^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 125 \cdot (3\sqrt{3}) = 375\sqrt{3}$. Подставим результат в дробь: $\frac{25\sqrt{3}}{375\sqrt{3}}$. Сократим $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе. Получим дробь $\frac{25}{375}$. Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 25: $25 \div 25 = 1$ и $375 \div 25 = 15$. Таким образом, $\frac{25}{375} = \frac{1}{15}$.
Ответ: $\frac{1}{15}$

332 Упростите:

а) $2\sqrt{7} \cdot \sqrt{2};$

б) $4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3};$

в) $\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2};$

г) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{12};$

д) $\frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{10}}{3};$

е) $\sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{\frac{12}{5}};$

ж) $\frac{\sqrt{333}}{\sqrt{111}};$

з) $\frac{3\sqrt{51}}{2\sqrt{17}};$

и) $\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{10}}.$

а) Чтобы упростить выражение $2\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}$, используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Умножим подкоренные выражения, оставив коэффициент без изменений.
$2\sqrt{7} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{7 \cdot 2} = 2\sqrt{14}$.
Число 14 не содержит множителей, являющихся полными квадратами, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $2\sqrt{14}$.

б) Чтобы упростить выражение $4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3}$, сгруппируем и перемножим отдельно рациональные множители (коэффициенты перед корнями) и иррациональные множители (корни).
$4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3} = (4 \cdot 3) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}) = 12 \cdot \sqrt{5 \cdot 3} = 12\sqrt{15}$.
Ответ: $12\sqrt{15}$.

в) Для упрощения выражения $\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}$ перемножим подкоренные выражения, оставив коэффициент 3 без изменений.
$3 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}) = 3\sqrt{3 \cdot 5 \cdot 2} = 3\sqrt{30}$.
Ответ: $3\sqrt{30}$.

г) Для упрощения дроби $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{12}$ объединим множители в числителе под один знак корня.
$\frac{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 6}}{12} = \frac{\sqrt{36}}{12}$.
Теперь извлечем квадратный корень из 36.
$\frac{6}{12}$.
Сократим полученную дробь.
$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

д) Упростим выражение $\frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{10}}{3}$. Объединим множители в числителе под одним корнем.
$\frac{\sqrt{15 \cdot 6 \cdot 10}}{3}$.
Для удобства извлечения корня разложим подкоренные числа на простые множители.
$\frac{\sqrt{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)}}{3} = \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}}{3} = \frac{\sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 5)^2}}{3}$.
Извлечем корень.
$\frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{3} = \frac{30}{3}$.
Выполним деление.
$10$.
Ответ: $10$.

е) Чтобы упростить выражение $\sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{\frac{12}{5}}$, воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.
$\sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{12}{5}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 12}{3 \cdot 5}}$.
Сократим дробь под знаком корня.
$\sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4}$.
Извлечем корень.
$2$.
Ответ: $2$.

ж) Для упрощения дроби $\frac{\sqrt{333}}{\sqrt{111}}$ воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\sqrt{\frac{333}{111}}$.
Выполним деление под корнем.
$\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

з) Упростим выражение $\frac{3\sqrt{51}}{2\sqrt{17}}$. Представим его как произведение дроби из коэффициентов и дроби из корней.
$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{51}}{\sqrt{17}}$.
Применим свойство частного корней.
$\frac{3}{2} \cdot \sqrt{\frac{51}{17}}$.
Разделим числа под корнем ($51 \div 17 = 3$).
$\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

и) Упростим выражение $\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{10}}$. Объединим все под один знак корня, используя свойства $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\sqrt{\frac{5 \cdot 8}{10}} = \sqrt{\frac{40}{10}}$.
Выполним деление под корнем.
$\sqrt{4}$.
Извлечем корень.
$2$.
Ответ: $2$.

333 Найдите с помощью калькулятора приближённое значение выражения с тремя знаками после запятой:

а) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$;

б) $\sqrt{6} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{8}$;

в) $\frac{\sqrt{505}}{\sqrt{101}};$

г) $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}};$

Указание. Сначала представьте выражение в виде $\sqrt{a}$.

а)

Согласно указанию, сначала представим выражение $\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$ в виде $\sqrt{a}$. Для этого используем свойство произведения квадратных корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$.

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{6}$

Теперь с помощью калькулятора найдем приближенное значение $\sqrt{6}$ и округлим его до трех знаков после запятой.

$\sqrt{6} \approx 2.449489...$

Так как четвертая цифра после запятой (4) меньше 5, округляем в меньшую сторону.

$\sqrt{6} \approx 2.449$

Ответ: $2.449$

б)

Представим выражение $\sqrt{6} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{8}$ в виде $\sqrt{a}$, используя то же свойство произведения корней.

$\sqrt{6} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{6 \cdot 7 \cdot 8} = \sqrt{336}$

Найдем на калькуляторе значение $\sqrt{336}$ и округлим до тысячных.

$\sqrt{336} \approx 18.330302...$

Четвертая цифра после запятой (3) меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону.

$\sqrt{336} \approx 18.330$

Ответ: $18.330$

в)

Для выражения $\frac{\sqrt{505}}{\sqrt{101}}$ воспользуемся свойством частного квадратных корней $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}$.

$\frac{\sqrt{505}}{\sqrt{101}} = \sqrt{\frac{505}{101}} = \sqrt{5}$

Вычислим на калькуляторе значение $\sqrt{5}$ и округлим до трех знаков после запятой.

$\sqrt{5} \approx 2.236067...$

Четвертая цифра после запятой (0) меньше 5, округляем в меньшую сторону.

$\sqrt{5} \approx 2.236$

Ответ: $2.236$

г)

Сначала упростим выражение $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}$. Преобразуем знаменатель, а затем применим свойство частного корней.

$\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2 \cdot 5}} = \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{22}{10}} = \sqrt{2.2}$

Теперь найдем приближенное значение $\sqrt{2.2}$ на калькуляторе и округлим до тысячных.

$\sqrt{2.2} \approx 1.483239...$

Четвертая цифра после запятой (2) меньше 5, округляем в меньшую сторону.

$\sqrt{2.2} \approx 1.483$

Ответ: $1.483$

334 Сравните значения выражений:

а) $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$ и $\sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$;

б) $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}}$ и $\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} $;

в) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}}$ и $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}$;

г) $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$.

а) Сравним значения выражений $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$ и $\sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$.
Для этого сначала упростим каждое выражение. Используем свойство умножения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Первое выражение: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$.
Второе выражение: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{7 \cdot 5} = \sqrt{35}$.
Теперь сравним полученные результаты: $6$ и $\sqrt{35}$.
Чтобы сравнить целое число с корнем, возведем оба числа в квадрат. Так как оба числа положительные, знак неравенства сохранится.
$6^2 = 36$
$(\sqrt{35})^2 = 35$
Поскольку $36 > 35$, то и $6 > \sqrt{35}$.
Следовательно, $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} > \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} > \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$.

б) Сравним значения выражений $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}}$ и $\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}$.
Упростим оба выражения, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Первое выражение: $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{12}}$.
Второе выражение: $\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{12}}$.
Полученные значения равны.
Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}$.

в) Сравним значения выражений $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}}$ и $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}$.
Упростим каждое выражение, используя свойство частного корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
Первое выражение: $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{72}{12}} = \sqrt{6}$.
Второе выражение: $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{35}{5}} = \sqrt{7}$.
Теперь сравним полученные результаты: $\sqrt{6}$ и $\sqrt{7}$.
Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, то из $6 < 7$ следует, что $\sqrt{6} < \sqrt{7}$.
Следовательно, $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} < \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} < \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}$.

г) Сравним значения выражений $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$.
Упростим оба выражения, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Первое выражение: $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$.
Второе выражение: $\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3}{12}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Теперь сравним полученные результаты: $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\frac{1}{2}$.
Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(\sqrt{\frac{1}{3}})^2 = \frac{1}{3}$
$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
Сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Приведем их к общему знаменателю $12$: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ и $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$.
Так как $4 > 3$, то $\frac{4}{12} > \frac{3}{12}$, а значит $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$.
Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{3}} > \frac{1}{2}$, и $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} > \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} > \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$.