Страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

369 a) $ \sqrt{9x} - \sqrt{4x} - \sqrt{16y} + \sqrt{9y} $

б) $ \sqrt{0,25m} - \sqrt{0,25n} + \sqrt{0,16n} - \sqrt{0,16m} $

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо вынести множители из-под знака корня и привести подобные слагаемые. Подобными слагаемыми в данном случае будут те, у которых одинаковое подкоренное выражение.

Исходное выражение: $\sqrt{9x} - \sqrt{4x} - \sqrt{16y} + \sqrt{9y}$

Воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$).

Упростим каждый член выражения:

$\sqrt{9x} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x} = 3\sqrt{x}$

$\sqrt{4x} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = 2\sqrt{x}$

$\sqrt{16y} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{y} = 4\sqrt{y}$

$\sqrt{9y} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{y} = 3\sqrt{y}$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$3\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 4\sqrt{y} + 3\sqrt{y}$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3\sqrt{x} - 2\sqrt{x}) + (-4\sqrt{y} + 3\sqrt{y}) = (3-2)\sqrt{x} + (-4+3)\sqrt{y} = 1 \cdot \sqrt{x} - 1 \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$

Ответ: $\sqrt{x} - \sqrt{y}$

б) Упростим выражение аналогичным образом, вынося числовые множители из-под знака корня.

Исходное выражение: $\sqrt{0,25m} - \sqrt{0,25n} + \sqrt{0,16n} - \sqrt{0,16m}$

Упростим каждый член выражения, зная, что $\sqrt{0,25} = 0,5$ и $\sqrt{0,16} = 0,4$.

$\sqrt{0,25m} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{m} = 0,5\sqrt{m}$

$\sqrt{0,25n} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{n} = 0,5\sqrt{n}$

$\sqrt{0,16n} = \sqrt{0,16} \cdot \sqrt{n} = 0,4\sqrt{n}$

$\sqrt{0,16m} = \sqrt{0,16} \cdot \sqrt{m} = 0,4\sqrt{m}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$0,5\sqrt{m} - 0,5\sqrt{n} + 0,4\sqrt{n} - 0,4\sqrt{m}$

Сгруппируем подобные слагаемые (отдельно с $\sqrt{m}$ и отдельно с $\sqrt{n}$):

$(0,5\sqrt{m} - 0,4\sqrt{m}) + (-0,5\sqrt{n} + 0,4\sqrt{n})$

Приведем подобные, выполнив действия с коэффициентами:

$(0,5 - 0,4)\sqrt{m} + (-0,5 + 0,4)\sqrt{n} = 0,1\sqrt{m} - 0,1\sqrt{n}$

Можно также вынести общий множитель $0,1$ за скобки: $0,1(\sqrt{m} - \sqrt{n})$.

Ответ: $0,1\sqrt{m} - 0,1\sqrt{n}$

370 Сократите дробь:

а) $ \frac{3\sqrt{8} - 2\sqrt{12} + \sqrt{20}}{3\sqrt{18} - 2\sqrt{27} + \sqrt{45}} $;

б) $ \frac{\sqrt{28} - 2\sqrt{18} - 2\sqrt{12}}{6\sqrt{32} + 4\sqrt{48} - 8\sqrt{7}} $.

а) Дана дробь $\frac{3\sqrt{8}-2\sqrt{12}+\sqrt{20}}{3\sqrt{18}-2\sqrt{27}+\sqrt{45}}$. Для ее сокращения необходимо упростить иррациональные выражения в числителе и знаменателе.

Сначала упростим числитель, вынеся множители из-под знака корня:
$3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
$2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
Таким образом, числитель равен $6\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{5}$.

Теперь упростим знаменатель:
$3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \cdot 2} = 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$
$2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
Таким образом, знаменатель равен $9\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$.

Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{6\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{5}}{9\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{5}}$

Вынесем общий множитель в числителе (2) и в знаменателе (3):
$\frac{2(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{5})}{3(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{5})}$

Сократим дробь на общий множитель $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{5})$:
$\frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) Дана дробь $\frac{\sqrt{28}-2\sqrt{18}-2\sqrt{12}}{6\sqrt{32}+4\sqrt{48}-8\sqrt{7}}$. Упростим выражения в числителе и знаменателе.

Упростим числитель:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$
$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
$2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
Числитель равен $2\sqrt{7} - 6\sqrt{2} - 4\sqrt{3}$.

Упростим знаменатель:
$6\sqrt{32} = 6\sqrt{16 \cdot 2} = 6 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$
$4\sqrt{48} = 4\sqrt{16 \cdot 3} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$
Знаменатель равен $24\sqrt{2} + 16\sqrt{3} - 8\sqrt{7}$.

Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{2\sqrt{7} - 6\sqrt{2} - 4\sqrt{3}}{24\sqrt{2} + 16\sqrt{3} - 8\sqrt{7}}$

Вынесем общие множители за скобки. В числителе это 2, а в знаменателе - 8:
$\frac{2(\sqrt{7} - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})}{8(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})}$

Заметим, что выражение в скобках в числителе является противоположным выражению в скобках в знаменателе:
$(\sqrt{7} - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = - (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})$
Подставим это в дробь:
$\frac{2 \cdot [-(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})]}{8(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})}$

Сократим на общий множитель $(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})$ и на 2:
$\frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

Упростите выражение (371—372).

371 а) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})$;

б) $(\sqrt{32} - 3\sqrt{12})(2\sqrt{8} + \sqrt{108})$;

в) $(3\sqrt{5} - 2\sqrt{6})^2$;

г) $(2 - \sqrt{6})^2 - (5 + \sqrt{2})^2$.

а) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})$

Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 2\sqrt{3}$ и $b = 3\sqrt{2}$.

Применим формулу:

$(2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2 = (2^2 \cdot (\sqrt{3})^2) - (3^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = (4 \cdot 3) - (9 \cdot 2) = 12 - 18 = -6$.

Ответ: $-6$

б) $(\sqrt{32} - 3\sqrt{12})(2\sqrt{8} + \sqrt{108})$

Сначала упростим корни, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

$3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \cdot 3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(4\sqrt{2} - 6\sqrt{3})(4\sqrt{2} + 6\sqrt{3})$

Это выражение также является разностью квадратов $(a-b)(a+b)$ с $a = 4\sqrt{2}$ и $b = 6\sqrt{3}$.

$(4\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{3})^2 = (4^2 \cdot (\sqrt{2})^2) - (6^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = (16 \cdot 2) - (36 \cdot 3) = 32 - 108 = -76$.

Ответ: $-76$

в) $(3\sqrt{5} - 2\sqrt{6})^2$

Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 3\sqrt{5}$ и $b = 2\sqrt{6}$.

$(3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{6}) + (2\sqrt{6})^2$

Вычислим каждый член выражения:

$(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$

$2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{6} = 12\sqrt{5 \cdot 6} = 12\sqrt{30}$

$(2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$

Соберем все вместе:

$45 - 12\sqrt{30} + 24 = (45+24) - 12\sqrt{30} = 69 - 12\sqrt{30}$.

Ответ: $69 - 12\sqrt{30}$

г) $(2 - \sqrt{6})^2 - (5 + \sqrt{2})^2$

Раскроем каждую скобку по формулам сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(2 - \sqrt{6})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 4 - 4\sqrt{6} + 6 = 10 - 4\sqrt{6}$.

$(5 + \sqrt{2})^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 25 + 10\sqrt{2} + 2 = 27 + 10\sqrt{2}$.

Теперь вычтем второе полученное выражение из первого:

$(10 - 4\sqrt{6}) - (27 + 10\sqrt{2}) = 10 - 4\sqrt{6} - 27 - 10\sqrt{2}$.

Приведем подобные слагаемые:

$(10 - 27) - 4\sqrt{6} - 10\sqrt{2} = -17 - 4\sqrt{6} - 10\sqrt{2}$.

Ответ: $-17 - 4\sqrt{6} - 10\sqrt{2}$

372 a) $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}$;

б) $\sqrt{4 - \sqrt{7}} \cdot \sqrt{4 + \sqrt{7}};$

в) $\frac{\sqrt{30 - \sqrt{5}}}{5} \cdot \frac{\sqrt{30 + \sqrt{5}}}{5}$;

г) $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{15}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{15 - \sqrt{3}}}{3}$.

а) $\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$

Чтобы перемножить квадратные корни, можно перемножить их подкоренные выражения. Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

Выражение в скобках представляет собой формулу разности квадратов: $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=2$ и $y=\sqrt{3}$.

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

Подставим полученный результат обратно под знак корня:

$\sqrt{1} = 1$

Ответ: $1$

б) $\sqrt{4-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4+\sqrt{7}}$

Используем то же свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{4-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4+\sqrt{7}} = \sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}$

Под корнем снова формула разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=4$ и $y=\sqrt{7}$.

$(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7}) = 4^2 - (\sqrt{7})^2 = 16 - 7 = 9$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{9} = 3$

Ответ: $3$

в) $\frac{\sqrt{\sqrt{30}-\sqrt{5}}}{5} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{30}+\sqrt{5}}}{5}$

Чтобы перемножить дроби, перемножим их числители и знаменатели:

$\frac{\sqrt{\sqrt{30}-\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{30}+\sqrt{5}}}{5 \cdot 5} = \frac{\sqrt{(\sqrt{30}-\sqrt{5})(\sqrt{30}+\sqrt{5})}}{25}$

Раскроем скобки в числителе по формуле разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=\sqrt{30}$ и $y=\sqrt{5}$:

$(\sqrt{30}-\sqrt{5})(\sqrt{30}+\sqrt{5}) = (\sqrt{30})^2 - (\sqrt{5})^2 = 30 - 5 = 25$

Подставим результат в числитель дроби:

$\frac{\sqrt{25}}{25} = \frac{5}{25}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

г) $\frac{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{15}-\sqrt{3}}}{3}$

Перемножим дроби, умножая числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:

$\frac{\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{15}} \cdot \sqrt{\sqrt{15}-\sqrt{3}}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{(\sqrt{15}+\sqrt{3})(\sqrt{15}-\sqrt{3})}}{6}$

В числителе под корнем находится произведение, которое можно раскрыть по формуле разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=\sqrt{15}$ и $y=\sqrt{3}$:

$(\sqrt{15}+\sqrt{3})(\sqrt{15}-\sqrt{3}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{3})^2 = 15 - 3 = 12$

Подставим полученное значение в числитель:

$\frac{\sqrt{12}}{6}$

Упростим корень в числителе, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Подставим упрощенный корень в дробь и сократим её:

$\frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

373 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{6}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{6}} = 3;$

б) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = 2;$

в) $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} = 1.$

а) Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Сгруппируем сомножители под один знак корня:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{6}} \cdot \sqrt{3 - \sqrt{6}} = \sqrt{3 \cdot (3 + \sqrt{6}) \cdot (3 - \sqrt{6})}$

Сначала вычислим произведение скобок в подкоренном выражении:

$(3 + \sqrt{6}) \cdot (3 - \sqrt{6}) = 3^2 - (\sqrt{6})^2 = 9 - 6 = 3$.

Подставим результат обратно в исходное выражение:

$\sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3$.

Левая часть равна $3$, правая часть равна $3$. Равенство $3 = 3$ верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем это равенство, последовательно упрощая левую часть, начиная с двух последних сомножителей. Будем многократно применять формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

1. Упростим произведение последних двух множителей:

$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = \sqrt{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}})(2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2 + \sqrt{2}})^2} = \sqrt{4 - (2 + \sqrt{2})} = \sqrt{2 - \sqrt{2}}$.

2. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$. Снова упростим произведение последних двух множителей:

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} = \sqrt{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$.

3. Выражение свелось к: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$.

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$.

Левая часть равна $2$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

в) Будем действовать по аналогии с предыдущим примером, последовательно упрощая выражение слева, начиная с конца, с помощью формулы разности квадратов.

1. Упростим произведение последних двух множителей:

$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}})^2} = \sqrt{4 - (2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}})} = \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}$.

2. Левая часть исходного выражения теперь равна:

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}$.

Снова упростим произведение последних двух множителей:

$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (2 + \sqrt{3})} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$.

3. Выражение упростилось до:

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}$.

Применим формулу разности квадратов в последний раз:

$\sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$.

Левая часть равна $1$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

374 Упростите:

a) $ \left(\sqrt{10-\sqrt{19}} + \sqrt{10+\sqrt{19}}\right)^2; $

б) $ \left(\sqrt{2\sqrt{5}+4} - \sqrt{2\sqrt{5}-4}\right)^2. $

а)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой квадрата суммы двух чисел: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = \sqrt{10 - \sqrt{19}}$ и $b = \sqrt{10 + \sqrt{19}}$.

Найдем квадраты каждого слагаемого:

$a^2 = (\sqrt{10 - \sqrt{19}})^2 = 10 - \sqrt{19}$

$b^2 = (\sqrt{10 + \sqrt{19}})^2 = 10 + \sqrt{19}$

Теперь найдем их удвоенное произведение $2ab$:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt{10 + \sqrt{19}} = 2 \cdot \sqrt{(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19})}$

Выражение под корнем представляет собой разность квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=10$ и $y=\sqrt{19}$.

$(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19}) = 10^2 - (\sqrt{19})^2 = 100 - 19 = 81$.

Следовательно, $2ab = 2 \cdot \sqrt{81} = 2 \cdot 9 = 18$.

Подставим все найденные значения в формулу квадрата суммы:

$(\sqrt{10 - \sqrt{19}} + \sqrt{10 + \sqrt{19}})^2 = a^2 + b^2 + 2ab = (10 - \sqrt{19}) + (10 + \sqrt{19}) + 18$.

Сокращаем взаимно уничтожающиеся слагаемые $-\sqrt{19}$ и $+\sqrt{19}$ и складываем числа:

$10 + 10 + 18 = 38$.

Ответ: $38$.

б)

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой квадрата разности двух чисел: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть $a = \sqrt{2\sqrt{5} + 4}$ и $b = \sqrt{2\sqrt{5} - 4}$.

Убедимся, что подкоренные выражения неотрицательны. $2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$. Поскольку $4 = \sqrt{16}$, то $\sqrt{20} > \sqrt{16}$, следовательно $2\sqrt{5} - 4 > 0$.

Найдем квадраты $a$ и $b$:

$a^2 = (\sqrt{2\sqrt{5} + 4})^2 = 2\sqrt{5} + 4$

$b^2 = (\sqrt{2\sqrt{5} - 4})^2 = 2\sqrt{5} - 4$

Теперь найдем их удвоенное произведение $2ab$:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{2\sqrt{5} + 4} \cdot \sqrt{2\sqrt{5} - 4} = 2 \cdot \sqrt{(2\sqrt{5} + 4)(2\sqrt{5} - 4)}$.

Выражение под корнем является разностью квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=2\sqrt{5}$ и $y=4$.

$(2\sqrt{5} + 4)(2\sqrt{5} - 4) = (2\sqrt{5})^2 - 4^2 = (4 \cdot 5) - 16 = 20 - 16 = 4$.

Следовательно, $2ab = 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.

Подставим все найденные значения в формулу квадрата разности:

$(\sqrt{2\sqrt{5} + 4} - \sqrt{2\sqrt{5} - 4})^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (2\sqrt{5} + 4) - 4 + (2\sqrt{5} - 4)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\sqrt{5} + 4 - 4 + 2\sqrt{5} - 4 = (2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) + (4 - 4 - 4) = 4\sqrt{5} - 4$.

Ответ: $4\sqrt{5} - 4$.

375 a) Выберите выражение, равное $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}$.

1) $\sqrt{7} - 3$ 2) $\sqrt{7} - \sqrt{3}$ 3) $3 - \sqrt{7}$

б) Выберите выражение, равное $\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}$.

1) $\sqrt{6} - 2$ 2) $\sqrt{2} - \sqrt{6}$ 3) $\sqrt{6} - \sqrt{2}$

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}$, нужно представить подкоренное выражение в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 16$ и $2ab = 6\sqrt{7}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 3\sqrt{7}$.
Проверим возможные пары чисел. Пусть $a=3$ и $b=\sqrt{7}$.
Тогда $a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 = 9 + 7 = 16$. Это соответствует первому уравнению.
Следовательно, подкоренное выражение можно записать как:
$16 - 6\sqrt{7} = 9 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + 7 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (3 - \sqrt{7})^2$.
Теперь извлечем корень, помня, что $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |3 - \sqrt{7}|$.
Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $3$ и $\sqrt{7}$.
Возведем оба числа в квадрат: $3^2 = 9$, а $(\sqrt{7})^2 = 7$.
Поскольку $9 > 7$, то $3 > \sqrt{7}$, а значит, выражение $3 - \sqrt{7}$ положительно.
Таким образом, $|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$.
Полученное выражение соответствует варианту ответа 3).

Ответ: 3) $3 - \sqrt{7}$.

б)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}$, используем тот же метод — представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Преобразуем член с корнем к виду $2ab$: $4\sqrt{3} = 2 \cdot (2\sqrt{3})$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 8$ и $ab = 2\sqrt{3}$.
Чтобы найти $a$ и $b$, заметим, что $2\sqrt{3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12}$. Нам нужны два числа, произведение которых равно $\sqrt{12}$, а сумма их квадратов равна 8.
Попробуем $a=\sqrt{6}$ и $b=\sqrt{2}$.
Их произведение $ab = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Это соответствует второму условию.
Сумма их квадратов $a^2+b^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2 = 8$. Это соответствует первому условию.
Значит, подкоренное выражение можно записать как:
$8 - 4\sqrt{3} = 6 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + 2 = (\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{12} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2$.
Теперь извлечем корень:
$\sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{2}|$.
Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $\sqrt{6}$ и $\sqrt{2}$.
Поскольку $6 > 2$, то $\sqrt{6} > \sqrt{2}$, а значит, выражение $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ положительно.
Таким образом, $|\sqrt{6} - \sqrt{2}| = \sqrt{6} - \sqrt{2}$.
Полученное выражение соответствует варианту ответа 3).

Ответ: 3) $\sqrt{6} - \sqrt{2}$.

376 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Верно ли равенство:

а) $\sqrt{7 - \sqrt{40}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$;

б) $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}};$

в) $1 - 2\sqrt{7} = \sqrt{29 - 4\sqrt{7}};$

г) $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$?

а) Чтобы проверить верность равенства $\sqrt{7 - \sqrt{40}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$, возведем обе его части в квадрат. Перед этим необходимо убедиться, что обе части имеют одинаковый знак.
Правая часть: $\sqrt{5} - \sqrt{2}$. Так как $5 > 2$, то $\sqrt{5} > \sqrt{2}$, следовательно, выражение $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ положительно.
Левая часть: $\sqrt{7 - \sqrt{40}}$. Так как $7 = \sqrt{49}$, а $\sqrt{40} < \sqrt{49}$, то подкоренное выражение $7 - \sqrt{40}$ положительно. Значит, значение левой части также положительно.
Поскольку обе части равенства положительны, можно сравнивать их квадраты.
Квадрат левой части: $(\sqrt{7 - \sqrt{40}})^2 = 7 - \sqrt{40}$. Упростим $\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$. Таким образом, квадрат левой части равен $7 - 2\sqrt{10}$.
Квадрат правой части: $(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$.
Квадраты обеих частей равны. Следовательно, исходное равенство верно.
Ответ: верно.

б) Проверим равенство $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$.
Обе части этого равенства очевидно положительны. Возведем обе части в квадрат.
Квадрат левой части: $(\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2 = 2 + \sqrt{3}$.
Квадрат правой части: $(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Так как квадраты обеих частей равны и сами части положительны, равенство верно.
Альтернативный способ — преобразовать левую часть по формуле сложного радикала. Для этого представим выражение под корнем в виде, удобном для выделения полного квадрата: $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$.
Выражение $4 + 2\sqrt{3}$ можно представить как квадрат суммы: $4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3 \cdot 1} + 1 = (\sqrt{3} + 1)^2$.
Тогда $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$.
Подставляя это обратно, получаем: $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$.
Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

в) Проверим равенство $1 - 2\sqrt{7} = \sqrt{29 - 4\sqrt{7}}$.
Оценим знак левой части. $2\sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$. Поскольку $1 = \sqrt{1}$ и $\sqrt{28} > \sqrt{1}$, то $2\sqrt{7} > 1$. Значит, $1 - 2\sqrt{7}$ — отрицательное число.
Правая часть, $\sqrt{29 - 4\sqrt{7}}$, по определению арифметического квадратного корня, является неотрицательным числом (т.е. $\ge 0$).
Отрицательное число не может равняться неотрицательному. Таким образом, равенство неверно.
Можно также заметить, что $(1 - 2\sqrt{7})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 1 - 4\sqrt{7} + 28 = 29 - 4\sqrt{7}$.
Тогда $\sqrt{29 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{(1 - 2\sqrt{7})^2} = |1 - 2\sqrt{7}|$. Так как $1 - 2\sqrt{7} < 0$, то $|1 - 2\sqrt{7}| = -(1 - 2\sqrt{7}) = 2\sqrt{7} - 1$.
Следовательно, верным было бы равенство $2\sqrt{7} - 1 = \sqrt{29 - 4\sqrt{7}}$.
Ответ: неверно.

г) Проверим равенство $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$.
Сначала проверим знаки обеих частей. В левой части $\sqrt{3} > 1$, поэтому числитель $\sqrt{3}-1$ положителен, знаменатель $\sqrt{2}$ также положителен, значит, вся дробь положительна. В правой части $2 > \sqrt{3}$ (так как $4>3$), поэтому подкоренное выражение $2-\sqrt{3}$ положительно, и его корень также положителен.
Обе части положительны, поэтому можно возвести их в квадрат.
Квадрат левой части: $(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Квадрат правой части: $(\sqrt{2 - \sqrt{3}})^2 = 2 - \sqrt{3}$.
Квадраты частей равны, следовательно, исходное равенство верно.
Ответ: верно.