Страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

394 Объём цилиндра, у которого диаметр основания равен высоте (рис. 2.32), вычисляется по формуле $V = 2\pi r^3$, где $r$ — радиус основания. Выразите из этой формулы радиус основания $r$.

395 Запишите формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат со стороной $a$ и высота которого в два раза больше стороны основания (рис. 2.33). Выразите из этой формулы сторону основания $a$.

Рис. 2.32

394 Дана формула для вычисления объёма цилиндра, у которого диаметр основания равен высоте: $V = 2\pi r^3$, где $V$ — объём, а $r$ — радиус основания. Чтобы выразить радиус $r$ из этой формулы, необходимо выполнить следующие преобразования.
Исходная формула: $V = 2\pi r^3$.
Разделим обе части уравнения на $2\pi$, чтобы выделить $r^3$:
$r^3 = \frac{V}{2\pi}$.
Теперь, чтобы найти $r$, извлечём кубический корень из обеих частей уравнения:
$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$.
Ответ: $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

395 Сначала запишем формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда. Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания $S_{осн}$ на высоту $h$: $V = S_{осн} \cdot h$.
По условию, в основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной $a$. Площадь такого квадрата равна $S_{осн} = a^2$.
Высота $h$ параллелепипеда в два раза больше стороны основания, то есть $h = 2a$.
Подставим выражения для площади основания и высоты в формулу объёма:
$V = a^2 \cdot (2a) = 2a^3$.
Это и есть искомая формула для объёма.
Теперь выразим из этой формулы сторону основания $a$.
Исходная формула: $V = 2a^3$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$a^3 = \frac{V}{2}$.
Извлечём кубический корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $a$:
$a = \sqrt[3]{\frac{V}{2}}$.
Ответ: Формула для объёма: $V = 2a^3$. Выражение для стороны основания: $a = \sqrt[3]{\frac{V}{2}}$

395 Запишите формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат со стороной a и высота которого в два раза больше стороны основания (рис. 2.33). Выразите из этой формулы сторону основания a.

396 Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{\pi D^3}{6}$, где $D$ — диаметр шара. Выразите из этой формулы диаметр шара $D$. Найдите приближённое значение диаметра с точностью до целых, если $V = 34 \text{ дм}^3$, $\pi \approx 3,14$.

397 Решите уравнение:

a) $x^3 = 1000;$

б) $x^3 = -0,008;$

в) $x^3 - 0,125 = 0;$

г) $x^3 + 1 = 0;$

д) $2x^3 - 6 = 0;$

е) $3x^3 + 36 = 0;$

395.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Согласно условию, в основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной $a$. Следовательно, площадь основания равна $S_{осн} = a \cdot a = a^2$.

Высота $h$ в два раза больше стороны основания, то есть $h = 2a$.

Подставим выражения для площади основания и высоты в общую формулу объема:

$V = a^2 \cdot (2a) = 2a^3$.

Это и есть искомая формула для вычисления объёма данного параллелепипеда.

Теперь выразим из этой формулы сторону основания $a$.

Исходная формула: $V = 2a^3$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$a^3 = \frac{V}{2}$

Чтобы найти $a$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$a = \sqrt[3]{\frac{V}{2}}$

Ответ: Формула для вычисления объёма: $V = 2a^3$. Формула для стороны основания: $a = \sqrt[3]{\frac{V}{2}}$.

396.

Дана формула для вычисления объёма шара: $V = \frac{\pi D^3}{6}$, где $D$ — диаметр шара.

Чтобы выразить из этой формулы диаметр $D$, выполним следующие шаги:

1. Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателя:

$6V = \pi D^3$

2. Разделим обе части на $\pi$, чтобы изолировать $D^3$:

$D^3 = \frac{6V}{\pi}$

3. Извлечем кубический корень из обеих частей, чтобы найти $D$:

$D = \sqrt[3]{\frac{6V}{\pi}}$

Теперь найдем приближённое значение диаметра с точностью до целых, используя данные: $V = 34 \text{ дм}^3$ и $\pi \approx 3,14$.

Подставим эти значения в выведенную формулу для $D$:

$D = \sqrt[3]{\frac{6 \cdot 34}{3,14}} = \sqrt[3]{\frac{204}{3,14}}$

Вычислим значение выражения под корнем:

$\frac{204}{3,14} \approx 64,968$

Таким образом, $D \approx \sqrt[3]{64,968}$.

Нам нужно найти целое число, куб которого наиболее близок к 64,968. Сравним кубы ближайших целых чисел:

$4^3 = 64$

$5^3 = 125$

Значение 64,968 находится гораздо ближе к 64, чем к 125. Следовательно, округляя до ближайшего целого числа, получаем $D \approx 4$.

Ответ: $D = \sqrt[3]{\frac{6V}{\pi}}$; $D \approx 4 \text{ дм}$.

397.

а) $x^3 = 1000$

Чтобы найти $x$, извлекаем кубический корень из 1000.

$x = \sqrt[3]{1000}$

$x = 10$, так как $10^3 = 1000$.

Ответ: $10$.

б) $x^3 = -0,008$

Извлекаем кубический корень из -0,008.

$x = \sqrt[3]{-0,008}$

$x = -0,2$, так как $(-0,2)^3 = -0,008$.

Ответ: $-0,2$.

в) $x^3 - 0,125 = 0$

Сначала перенесем -0,125 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x^3 = 0,125$

Теперь извлекаем кубический корень:

$x = \sqrt[3]{0,125}$

$x = 0,5$, так как $0,5^3 = 0,125$.

Ответ: $0,5$.

г) $x^3 + 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$x^3 = -1$

Извлекаем кубический корень:

$x = \sqrt[3]{-1}$

$x = -1$, так как $(-1)^3 = -1$.

Ответ: $-1$.

д) $2x^3 - 6 = 0$

Перенесем -6 в правую часть:

$2x^3 = 6$

Разделим обе части на 2:

$x^3 = 3$

Извлекаем кубический корень:

$x = \sqrt[3]{3}$

Ответ: $\sqrt[3]{3}$.

е) $3x^3 + 36 = 0$

Перенесем 36 в правую часть:

$3x^3 = -36$

Разделим обе части на 3:

$x^3 = -12$

Извлекаем кубический корень:

$x = \sqrt[3]{-12}$

Ответ: $\sqrt[3]{-12}$.

396 Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{\pi D^3}{6}$, где $D$ — диаметр шара. Выразите из этой формулы диаметр шара $D$. Найдите приближённое значение диаметра с точностью до целых, если $V = 34 \text{ дм}^3$, $\pi \approx 3,14$.

Выражение диаметра D из формулы объёма

Дана формула объёма шара: $V = \frac{\pi D^3}{6}$. Чтобы выразить из этой формулы диаметр $D$, нужно выполнить последовательность алгебраических преобразований для изоляции переменной $D$.
1. Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателя: $6 \cdot V = 6 \cdot \frac{\pi D^3}{6}$
$6V = \pi D^3$
2. Разделим обе части уравнения на $\pi$, чтобы изолировать $D^3$: $\frac{6V}{\pi} = \frac{\pi D^3}{\pi}$
$D^3 = \frac{6V}{\pi}$
3. Извлечём кубический корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $D$: $D = \sqrt[3]{\frac{6V}{\pi}}$
Ответ: $D = \sqrt[3]{\frac{6V}{\pi}}$.

Нахождение приближённого значения диаметра

Используем выведенную формулу и подставим в неё заданные значения: $V = 34 \text{ дм}^3$ и $\pi \approx 3,14$.
$D \approx \sqrt[3]{\frac{6 \cdot 34}{3,14}}$
Сначала вычислим значение выражения в числителе: $6 \cdot 34 = 204$
Теперь подставим это значение обратно в формулу: $D \approx \sqrt[3]{\frac{204}{3,14}}$
Выполним деление: $D \approx \sqrt[3]{64,96815...}$
Чтобы найти приближённое значение диаметра с точностью до целых, найдём ближайшее целое число, куб которого близок к 64,96815....
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
Значение 64,96815... очень близко к 64. Следовательно, значение $D$ очень близко к 4. При округлении до ближайшего целого числа получаем 4.
Ответ: $D \approx 4 \text{ дм}$.

397 Решите уравнение:

а) $x^3 = 1000$;

б) $x^3 = -0,008$;

в) $x^3 - 0,125 = 0$;

г) $x^3 + 1 = 0$;

д) $2x^3 - 6 = 0$;

е) $3x^3 + 36 = 0$.

Если корень уравнения — число иррациональное, найдите его десятичное приближение с двумя знаками после запятой.

Рис. 2.33

а) $x^3 = 1000$

Чтобы найти $x$, необходимо извлечь кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{1000}$

Так как $10^3 = 1000$, корень уравнения равен 10. Это рациональное число.

Ответ: $10$.

б) $x^3 = -0,008$

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{-0,008}$

Так как $(-0,2)^3 = -0,008$, корень уравнения равен -0,2. Это рациональное число.

Ответ: $-0,2$.

в) $x^3 - 0,125 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^3 = 0,125$

Теперь извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{0,125}$

Поскольку $0,5^3 = 0,125$, корень уравнения равен 0,5. Это рациональное число.

Ответ: $0,5$.

г) $x^3 + 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$x^3 = -1$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{-1}$

Так как $(-1)^3 = -1$, корень уравнения равен -1. Это рациональное число.

Ответ: $-1$.

д) $2x^3 - 6 = 0$

Сначала выразим $x^3$ из уравнения:

$2x^3 = 6$

$x^3 = \frac{6}{2}$

$x^3 = 3$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{3}$

Корень $\sqrt[3]{3}$ является иррациональным числом. Найдем его десятичное приближение с двумя знаками после запятой:

$\sqrt[3]{3} \approx 1,4422...$

Округляя до сотых, получаем $x \approx 1,44$.

Ответ: $\sqrt[3]{3} \approx 1,44$.

е) $3x^3 + 36 = 0$

Выразим $x^3$ из уравнения:

$3x^3 = -36$

$x^3 = \frac{-36}{3}$

$x^3 = -12$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{-12}$

Корень $\sqrt[3]{-12}$ является иррациональным числом. Найдем его десятичное приближение с двумя знаками после запятой:

$x = -\sqrt[3]{12} \approx -2,2894...$

Округляя до сотых, получаем $x \approx -2,29$.

Ответ: $\sqrt[3]{-12} \approx -2,29$.

398 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

Объём правильного тетраэдра (треугольной пирамиды, все рёбра которой равны) вычисляется по формуле $V = \frac{a^3 \sqrt{3}}{12}$, где $a$ — длина ребра тетраэдра. Выразите из этой формулы длину ребра $a$.

Чтобы выразить длину ребра $a$ из формулы объёма правильного тетраэдра $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$, необходимо решить это уравнение относительно переменной $a$.

Сначала умножим обе части исходного уравнения на 12, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:
$12 \cdot V = 12 \cdot \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$
$12V = a^3\sqrt{3}$

Далее, чтобы выделить $a^3$, разделим обе части получившегося уравнения на $\sqrt{3}$:
$\frac{12V}{\sqrt{3}} = \frac{a^3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$a^3 = \frac{12V}{\sqrt{3}}$

На последнем шаге, чтобы найти $a$, извлечём кубический корень из обеих частей уравнения:
$a = \sqrt[3]{\frac{12V}{\sqrt{3}}}$

Это выражение можно упростить, избавившись от иррациональности в знаменателе подкоренного выражения. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{12}{\sqrt{3}}$ на $\sqrt{3}$:
$\frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$
Таким образом, окончательная формула для $a$ приобретает вид:
$a = \sqrt[3]{4\sqrt{3}V}$

Ответ: $a = \sqrt[3]{4\sqrt{3}V}$