Страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

419 Упростите выражение при $a < 0$, $b > 0$:

a) $2a^2\sqrt{a^2b^6} + b\sqrt{a^6b^4}$;

б) $a\sqrt{a^4b^3} - 3b\sqrt{a^6b}$.

а) $2a^2\sqrt{a^2b^6} + b\sqrt{a^6b^4}$

Для упрощения выражения воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$ и учтем заданные условия $a < 0$ и $b > 0$.

1. Упростим первое слагаемое $2a^2\sqrt{a^2b^6}$:

$\sqrt{a^2b^6} = \sqrt{a^2}\sqrt{(b^3)^2} = |a| \cdot |b^3|$.

Поскольку по условию $a < 0$, то $|a| = -a$.

Поскольку $b > 0$, то и $b^3 > 0$, следовательно $|b^3| = b^3$.

Подставляем полученные значения: $\sqrt{a^2b^6} = (-a) \cdot b^3 = -ab^3$.

Тогда все первое слагаемое равно: $2a^2 \cdot (-ab^3) = -2a^3b^3$.

2. Упростим второе слагаемое $b\sqrt{a^6b^4}$:

$\sqrt{a^6b^4} = \sqrt{(a^3)^2}\sqrt{(b^2)^2} = |a^3| \cdot |b^2|$.

Поскольку $a < 0$, то $a^3$ также будет отрицательным ($a^3 < 0$), поэтому $|a^3| = -a^3$.

Поскольку $b$ - любое положительное число, $b^2$ всегда будет положительным ($b^2 > 0$), поэтому $|b^2| = b^2$.

Подставляем: $\sqrt{a^6b^4} = (-a^3) \cdot b^2 = -a^3b^2$.

Тогда все второе слагаемое равно: $b \cdot (-a^3b^2) = -a^3b^3$.

3. Сложим полученные выражения:

$-2a^3b^3 + (-a^3b^3) = -2a^3b^3 - a^3b^3 = -3a^3b^3$.

Ответ: $-3a^3b^3$.

б) $a\sqrt{a^4b^3} - 3b\sqrt{a^6b}$

Используем те же свойства и условия $a < 0$, $b > 0$. Вынесем из-под знака корня множители с четной степенью.

1. Упростим уменьшаемое $a\sqrt{a^4b^3}$:

$\sqrt{a^4b^3} = \sqrt{a^4 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{(a^2)^2}\sqrt{b^2}\sqrt{b} = |a^2| \cdot |b| \cdot \sqrt{b}$.

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $a^2 > 0$ и $|a^2| = a^2$.

По условию $b > 0$, поэтому $|b| = b$.

Подставляем: $\sqrt{a^4b^3} = a^2 \cdot b \cdot \sqrt{b} = a^2b\sqrt{b}$.

Тогда все уменьшаемое равно: $a \cdot (a^2b\sqrt{b}) = a^3b\sqrt{b}$.

2. Упростим вычитаемое $3b\sqrt{a^6b}$:

$\sqrt{a^6b} = \sqrt{a^6}\sqrt{b} = \sqrt{(a^3)^2}\sqrt{b} = |a^3|\sqrt{b}$.

Поскольку $a < 0$, то $a^3 < 0$, и $|a^3| = -a^3$.

Подставляем: $\sqrt{a^6b} = -a^3\sqrt{b}$.

Тогда все вычитаемое равно: $3b \cdot (-a^3\sqrt{b}) = -3a^3b\sqrt{b}$.

3. Выполним вычитание:

$a^3b\sqrt{b} - (-3a^3b\sqrt{b}) = a^3b\sqrt{b} + 3a^3b\sqrt{b} = 4a^3b\sqrt{b}$.

Ответ: $4a^3b\sqrt{b}$.

420 Вероятность, статистика, комбинаторика

По данным Федеральной службы государственной статистики, в 2009 г. в России железнодорожным транспортом перевезено 3121,3 млн тонн грузов. Распределение перевозок грузов по отдельным видам экономической деятельности представлено в таблице.

1) Постройте по этим данным столбчатую диаграмму.

2) Определите:

a) какая часть всех перевозок связана с добычей полезных ископаемых;

б) какой процент всех перевозок приходится на металлургическое производство.

Для наглядного представления данных о перевозке грузов по видам экономической деятельности построим столбчатую диаграмму. Длина каждого столбца будет пропорциональна объему перевезенных грузов в миллионах тонн. Для масштабирования примем за 100% максимальное значение в таблице (963,5 млн т, «Транспорт и связь»).

Ответ: Столбчатая диаграмма, представляющая данные по перевозкам, построена выше.

Чтобы определить, какая часть всех перевозок связана с добычей полезных ископаемых, необходимо сложить объемы перевозок по двум соответствующим категориям («Добыча топливно-энергетических полезных ископаемых» и «Добыча полезных ископаемых, кроме топливно-энергетических») и разделить полученную сумму на общий объем перевезенных грузов, указанный в условии задачи.
1. Найдем суммарный объем перевозок, связанных с добычей полезных ископаемых:
$313,9 \text{ млн т} + 676,3 \text{ млн т} = 990,2 \text{ млн т}$
2. Общий объем перевозок составляет $3121,3$ млн т.
3. Найдем искомую часть, разделив объем перевозок по добыче на общий объем:
$\frac{990,2}{3121,3} \approx 0,3172$
Ответ: Часть всех перевозок, связанная с добычей полезных ископаемых, составляет $\frac{9902}{31213}$, или приблизительно 0,317.

Чтобы определить, какой процент всех перевозок приходится на металлургическое производство, нужно разделить объем перевозок этой категории на общий объем всех перевозок и умножить результат на 100%.
1. Объем перевозок по категории «Металлургическое производство и производство готовых металлических изделий» равен $591,3$ млн т.
2. Общий объем перевозок составляет $3121,3$ млн т.
3. Рассчитаем процент:
$\frac{591,3}{3121,3} \times 100\% \approx 18,944\%$
Округлим результат до одного знака после запятой.
Ответ: На металлургическое производство приходится примерно 18,9% всех перевозок.