Страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4 Какое из чисел $\sqrt{121}$, $\sqrt{0.4}$, $\sqrt{2\frac{1}{4}}$ является иррациональным?

Чтобы определить, какое из предложенных чисел является иррациональным, необходимо проанализировать каждое из них. Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Корень из числа является рациональным только в том случае, если подкоренное выражение является полным квадратом рационального числа.

$\sqrt{121}$

Проверим подкоренное выражение. Число 121 является полным квадратом, так как $11^2 = 121$.Следовательно, $\sqrt{121} = 11$. Число 11 является целым, а значит, и рациональным.

$\sqrt{0.4}$

Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной: $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.Таким образом, мы имеем $\sqrt{0.4} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.Чтобы корень из дроби был рациональным числом, её числитель и знаменатель должны быть полными квадратами целых чисел. Ни число 2, ни число 5 не являются полными квадратами. Следовательно, $\sqrt{0.4}$ является иррациональным числом.

$\sqrt{2\frac{1}{4}}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.Теперь извлечем корень: $\sqrt{2\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}}$.Используя свойство корня из дроби, получаем: $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.Число $\frac{3}{2}$, или 1,5, является рациональным.

Итак, из трех чисел $\sqrt{121}$ и $\sqrt{2\frac{1}{4}}$ являются рациональными, а число $\sqrt{0.4}$ — иррациональным.

Ответ: $\sqrt{0.4}$

5 Одна из точек K, L, M и N на координатной прямой соответствует числу $\sqrt{86}$. Какая это точка?

Чтобы определить, какой из точек K, L, M или N соответствует число $\sqrt{86}$, необходимо оценить значение этого числа и найти его положение на координатной прямой.

Для этого найдем два ближайших к 86 числа, которые являются полными квадратами. Это числа 81 и 100.

Мы знаем, что $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$.

Поскольку число 86 находится между 81 и 100, то есть $81 < 86 < 100$, мы можем сделать вывод о значении $\sqrt{86}$. Возьмем квадратный корень из всех частей этого двойного неравенства:

$\sqrt{81} < \sqrt{86} < \sqrt{100}$

Это означает, что:

$9 < \sqrt{86} < 10$

Таким образом, точка, соответствующая числу $\sqrt{86}$, расположена на координатной прямой между числами 9 и 10. На изображении в этом промежутке находятся две точки: L и M. Точки K и N не подходят, так как K находится в интервале (8, 9), а N - в интервале (10, 11).

Чтобы выбрать между L и M, определим, к какому из концов отрезка [9, 10] число $\sqrt{86}$ находится ближе. Для этого сравним, насколько подкоренное число 86 удалено от 81 и 100:

Разница между 86 и 81: $86 - 81 = 5$.

Разница между 100 и 86: $100 - 86 = 14$.

Так как 86 значительно ближе к 81, чем к 100, то и $\sqrt{86}$ будет значительно ближе к $\sqrt{81}=9$, чем к $\sqrt{100}=10$.

Для более точной проверки найдем, где находится $\sqrt{86}$ относительно середины отрезка [9, 10], то есть относительно числа 9,5. Возведем 9,5 в квадрат:

$9.5^2 = 90.25$

Сравниваем 86 и 90.25: поскольку $86 < 90.25$, то и $\sqrt{86} < \sqrt{90.25}$, что означает $\sqrt{86} < 9.5$.

Это подтверждает, что точка, соответствующая числу $\sqrt{86}$, находится в первой половине интервала от 9 до 10, то есть на отрезке [9; 9,5).

На координатной прямой точка L расположена ближе к 9, а точка M — ближе к 10. Следовательно, числу $\sqrt{86}$ соответствует точка L.

Ответ: L

6 Какое из чисел заключено между числами $\sqrt{5}$ и $\sqrt{10}$?

1) 6

2) 4

3) 3

4) 2

Чтобы определить, какое из предложенных чисел находится между числами $\sqrt{5}$ и $\sqrt{10}$, нам нужно найти целое число $x$, которое удовлетворяет двойному неравенству:

$\sqrt{5} < x < \sqrt{10}$

Поскольку все части неравенства являются положительными числами, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от знаков корня. При этом знаки неравенства сохранятся.

$(\sqrt{5})^2 < x^2 < (\sqrt{10})^2$

$5 < x^2 < 10$

Теперь нам нужно найти, квадрат какого из предложенных чисел находится в интервале от 5 до 10. Проверим каждый вариант.

1) 6
Возводим число 6 в квадрат: $6^2 = 36$.
Проверяем неравенство: $5 < 36 < 10$. Это неверно, так как 36 больше 10.

2) 4
Возводим число 4 в квадрат: $4^2 = 16$.
Проверяем неравенство: $5 < 16 < 10$. Это неверно, так как 16 больше 10.

3) 3
Возводим число 3 в квадрат: $3^2 = 9$.
Проверяем неравенство: $5 < 9 < 10$. Это неравенство верно, так как 9 действительно больше 5 и меньше 10.

4) 2
Возводим число 2 в квадрат: $2^2 = 4$.
Проверяем неравенство: $5 < 4 < 10$. Это неверно, так как 4 меньше 5.

Единственное число, которое удовлетворяет условию, — это 3.

Ответ: 3

7 При каком значении m выражение $\sqrt{1-m}$ не имеет смысла?

1) при $m = -2$

2) при $m = 0$

3) при $m = 1$

4) при $m = 2$

Выражение $\sqrt{1 - m}$ относится к квадратным корням. В области действительных чисел квадратный корень имеет смысл только в том случае, если подкоренное выражение неотрицательно (то есть больше или равно нулю).

Следовательно, данное выражение не имеет смысла, когда подкоренное выражение $1 - m$ строго меньше нуля. Запишем это в виде неравенства:
$1 - m < 0$
Чтобы решить это неравенство, прибавим $m$ к обеим его частям:
$1 < m$
Это неравенство эквивалентно $m > 1$.

Таким образом, нам нужно найти значение $m$ среди предложенных вариантов, которое больше 1. Проверим каждый вариант.

1) при m = -2:
Условие $m > 1$ не выполняется, так как $-2 < 1$. Подставив значение в выражение, получим $\sqrt{1 - (-2)} = \sqrt{3}$. Выражение имеет смысл.

2) при m = 0:
Условие $m > 1$ не выполняется, так как $0 < 1$. Подставив значение, получим $\sqrt{1 - 0} = \sqrt{1} = 1$. Выражение имеет смысл.

3) при m = 1:
Условие $m > 1$ не выполняется, так как $1 = 1$. Подставив значение, получим $\sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$. Выражение имеет смысл.

4) при m = 2:
Условие $m > 1$ выполняется, так как $2 > 1$. Подставив значение, получим $\sqrt{1 - 2} = \sqrt{-1}$. Корень из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел, следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: 4

8 Соотнесите уравнение с числом его корней.

Уравнения:

А) $x^2 = 120$ Б) $x^2 = 0$ В) $x^2 = -100$

Число корней:

1) нет корней 2) 2 корня 3) 1 корень

Для того чтобы соотнести каждое уравнение с числом его корней, проанализируем каждое уравнение по отдельности.

А) $x^2 = 120$

Это квадратное уравнение вида $x^2 = a$, где $a > 0$. Так как $120$ — положительное число, уравнение имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt{120}$ и $x_2 = -\sqrt{120}$. Следовательно, у этого уравнения 2 корня.

Ответ: 2

Б) $x^2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $x^2 = a$, где $a = 0$. Единственное число, квадрат которого равен нулю, это сам ноль. Таким образом, уравнение имеет только один корень: $x = 0$.

Ответ: 3

В) $x^2 = -100$

Это квадратное уравнение вида $x^2 = a$, где $a < 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Так как правая часть уравнения ($-100$) отрицательна, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: 1

9 Решите уравнение $x^2 - \frac{3}{4} = 0.$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения мы можем изолировать член с переменной $x^2$.

Перенесем свободный член $\frac{3}{4}$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$x^2 = \frac{3}{4}$

Теперь, чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$, где $a > 0$, имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.

$x = \pm\sqrt{\frac{3}{4}}$

Используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$x = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Так как $\sqrt{4} = 2$, получаем окончательные решения:

$x_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}$

10 Какая точка принадлежит графику функции $y = \sqrt{x}$?

1) $M(225; -15)$

2) $N(64; 10)$

3) $P(196; 14)$

4) $Q(12; 144)$

Для того чтобы определить, какая из предложенных точек принадлежит графику функции $y = \sqrt{x}$, необходимо подставить координаты $(x; y)$ каждой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка принадлежит графику.

1) $M(225; -15)$

Подставляем координаты точки $M$ в уравнение $y = \sqrt{x}$:

$-15 = \sqrt{225}$

Арифметический квадратный корень из числа 225 равен 15. Таким образом, мы получаем неверное равенство $-15 = 15$. Кроме того, область значений функции $y = \sqrt{x}$ — это все неотрицательные числа ($y \ge 0$), а ордината точки $M$ отрицательна. Значит, точка $M$ не принадлежит графику.

Ответ: не принадлежит.

2) $N(64; 10)$

Подставляем координаты точки $N$ в уравнение $y = \sqrt{x}$:

$10 = \sqrt{64}$

Квадратный корень из 64 равен 8. Мы получаем неверное равенство $10 = 8$. Значит, точка $N$ не принадлежит графику.

Ответ: не принадлежит.

3) $P(196; 14)$

Подставляем координаты точки $P$ в уравнение $y = \sqrt{x}$:

$14 = \sqrt{196}$

Чтобы проверить это, можно возвести 14 в квадрат: $14^2 = 196$. Равенство $14 = \sqrt{196}$ является верным. Значит, точка $P$ принадлежит графику.

Ответ: принадлежит.

4) $Q(12; 144)$

Подставляем координаты точки $Q$ в уравнение $y = \sqrt{x}$:

$144 = \sqrt{12}$

Это равенство неверно, так как $12^2 = 144$, а не $\sqrt{12} = 144$. Значит, точка $Q$ не принадлежит графику.

Ответ: не принадлежит.

11 Расположите в порядке возрастания числа $0,3$; $\sqrt{0,3}$; $1,5$; $\sqrt{1,5}$.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, удобнее всего сравнить их квадраты. Поскольку все числа являются положительными, то чем больше квадрат числа, тем больше и само число. Иными словами, если для положительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство $a^2 < b^2$, то справедливо и неравенство $a < b$.

Найдем квадраты каждого из заданных чисел:

• Квадрат числа $0,3$:
  $(0,3)^2 = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$
• Квадрат числа $\sqrt{0,3}$:
  $(\sqrt{0,3})^2 = 0,3$
• Квадрат числа $1,5$:
  $(1,5)^2 = 1,5 \cdot 1,5 = 2,25$
• Квадрат числа $\sqrt{1,5}$:
  $(\sqrt{1,5})^2 = 1,5$

Теперь сравним полученные значения и расположим их в порядке возрастания:

$0,09 < 0,3 < 1,5 < 2,25$

Это неравенство соответствует следующему порядку квадратов исходных чисел:

$(0,3)^2 < (\sqrt{0,3})^2 < (\sqrt{1,5})^2 < (1,5)^2$

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так:

$0,3 < \sqrt{0,3} < \sqrt{1,5} < 1,5$

Ответ: $0,3; \sqrt{0,3}; \sqrt{1,5}; 1,5$.

12 Найдите значение выражения $\sqrt{15 \cdot 240.}$

Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{15 \cdot 240}$, преобразуем подкоренное выражение. Вместо того, чтобы перемножать большие числа, удобнее разложить их на множители.

Заметим, что число $240$ можно представить в виде произведения с числом $15$. Для этого разделим $240$ на $15$:

$240 \div 15 = 16$

Таким образом, $240 = 15 \cdot 16$.

Теперь подставим это разложение обратно в исходное выражение:

$\sqrt{15 \cdot 240} = \sqrt{15 \cdot (15 \cdot 16)} = \sqrt{15^2 \cdot 16}$

Воспользуемся свойством квадратного корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$):

$\sqrt{15^2 \cdot 16} = \sqrt{15^2} \cdot \sqrt{16}$

Вычислим значения корней:

$\sqrt{15^2} = 15$

$\sqrt{16} = 4$

Осталось перемножить полученные числа:

$15 \cdot 4 = 60$

Ответ: 60

13 Зная, что $33^2 = 1089$, определите, какое из следующих равенств неверно.

1) $\sqrt{1089} = 33$

2) $\sqrt{108900} = 330$

3) $\sqrt{10,89} = 3,3$

4) $\sqrt{1,089} = 0,33$

Нам дано, что $33^2 = 1089$. Из этого следует, что $\sqrt{1089} = 33$. Проанализируем каждое из предложенных равенств, чтобы найти неверное.

1) $\sqrt{1089} = 33$

Это равенство является прямым следствием из условия задачи $33^2 = 1089$. Равенство верно.

Ответ: верно.

2) $\sqrt{108900} = 330$

Проверим равенство, преобразовав выражение под корнем: $\sqrt{108900} = \sqrt{1089 \cdot 100}$. Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получаем: $\sqrt{1089} \cdot \sqrt{100} = 33 \cdot 10 = 330$. Равенство верно.

Ответ: верно.

3) $\sqrt{10,89} = 3,3$

Проверим равенство, преобразовав выражение под корнем: $\sqrt{10,89} = \sqrt{\frac{1089}{100}}$. Используя свойство корня из частного $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, получаем: $\frac{\sqrt{1089}}{\sqrt{100}} = \frac{33}{10} = 3,3$. Равенство верно.

Ответ: верно.

4) $\sqrt{1,089} = 0,33$

Проверим это равенство, возведя правую часть в квадрат: $0,33^2 = (33 \cdot 0,01)^2 = 33^2 \cdot (0,01)^2 = 1089 \cdot 0,0001 = 0,1089$. Поскольку $0,1089 \neq 1,089$, данное равенство неверно.

Ответ: неверно.

Таким образом, единственное неверное равенство — это равенство под номером 4.

14 Найдите значение выражения $\frac{2\sqrt{21} \cdot 6\sqrt{35}}{7\sqrt{60}}$

Для нахождения значения данного выражения необходимо выполнить последовательное упрощение, используя свойства квадратных корней.

Исходное выражение:

$$ \frac{2\sqrt{21} \cdot 6\sqrt{35}}{7\sqrt{60}} $$

1. Вначале перемножим коэффициенты перед корнями в числителе и объединим все корни в одно выражение, используя правила умножения и деления корней ($ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $ и $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $):

$$ \frac{2 \cdot 6}{7} \cdot \frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{35}}{\sqrt{60}} = \frac{12}{7} \cdot \sqrt{\frac{21 \cdot 35}{60}} $$

2. Теперь упростим дробь под знаком корня. Для этого разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители:

$ 21 = 3 \cdot 7 $
$ 35 = 5 \cdot 7 $
$ 60 = 4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $

Подставим эти разложения в выражение под корнем:

$$ \sqrt{\frac{(3 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 7)}{2^2 \cdot 3 \cdot 5}} $$

3. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе дроби под корнем:

$$ \sqrt{\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot 7 \cdot 7}{2^2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5}}} = \sqrt{\frac{7 \cdot 7}{2^2}} = \sqrt{\frac{7^2}{2^2}} $$

4. Извлечем квадратный корень из полученной дроби:

$$ \sqrt{\frac{7^2}{2^2}} = \frac{7}{2} $$

5. Подставим результат обратно в наше основное выражение и выполним вычисления:

$$ \frac{12}{7} \cdot \frac{7}{2} $$

Сокращаем 7 в числителе и знаменателе, а также 12 и 2:

$$ \frac{12 \cdot 7}{7 \cdot 2} = \frac{12}{2} = 6 $$

Ответ: 6

15 Выберите выражение, равное $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$.

1) $1 - \sqrt{3}$

2) $\sqrt{3} - 1$

3) $(1 - \sqrt{3})^2$

4) $(\sqrt{3} - 1)^2$

Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}$, необходимо использовать свойство квадратного корня, которое гласит, что для любого действительного числа $a$ верно равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. Модуль числа $a$ равен самому числу, если оно неотрицательно, и противоположенному числу, если оно отрицательно.

Применим это правило к нашему выражению:$\sqrt{(1-\sqrt{3})^2} = |1-\sqrt{3}|$

Теперь нам нужно определить знак выражения под знаком модуля, то есть $1-\sqrt{3}$. Для этого сравним числа $1$ и $\sqrt{3}$.

Мы знаем, что $1 = \sqrt{1}$. Поскольку $1 < 3$, то и $\sqrt{1} < \sqrt{3}$. Следовательно, $1 < \sqrt{3}$.

Это означает, что разность $1 - \sqrt{3}$ является отрицательным числом: $1 - \sqrt{3} < 0$.

По определению модуля, модуль отрицательного числа равен числу, ему противоположному. То есть, $|a| = -a$, если $a < 0$.

Таким образом, мы раскрываем модуль следующим образом:$|1-\sqrt{3}| = -(1-\sqrt{3}) = -1 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1$.

Итак, исходное выражение равно $\sqrt{3}-1$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2