Номер 4, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 2. Квадратные корни - номер 4, страница 118.

Условие.

4 Какое из чисел $\sqrt{121}$, $\sqrt{0.4}$, $\sqrt{2\frac{1}{4}}$ является иррациональным?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, какое из предложенных чисел является иррациональным, необходимо проанализировать каждое из них. Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Корень из числа является рациональным только в том случае, если подкоренное выражение является полным квадратом рационального числа.

$\sqrt{121}$

Проверим подкоренное выражение. Число 121 является полным квадратом, так как $11^2 = 121$.Следовательно, $\sqrt{121} = 11$. Число 11 является целым, а значит, и рациональным.

$\sqrt{0.4}$

Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной: $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.Таким образом, мы имеем $\sqrt{0.4} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.Чтобы корень из дроби был рациональным числом, её числитель и знаменатель должны быть полными квадратами целых чисел. Ни число 2, ни число 5 не являются полными квадратами. Следовательно, $\sqrt{0.4}$ является иррациональным числом.

$\sqrt{2\frac{1}{4}}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.Теперь извлечем корень: $\sqrt{2\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}}$.Используя свойство корня из дроби, получаем: $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.Число $\frac{3}{2}$, или 1,5, является рациональным.

Итак, из трех чисел $\sqrt{121}$ и $\sqrt{2\frac{1}{4}}$ являются рациональными, а число $\sqrt{0.4}$ — иррациональным.

Ответ: $\sqrt{0.4}$