Номер 16, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 2. Квадратные корни - номер 16, страница 117.

Условие.

16 Упростите выражение:

а) $3\sqrt{20} - 3\sqrt{45} + 4\sqrt{5}$;

б) $(1 + \sqrt{3})^2$;

в) $(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $3\sqrt{20} - 3\sqrt{45} + 4\sqrt{5}$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо вынести множитель из-под знака корня для $\sqrt{20}$ и $\sqrt{45}$. Для этого представим подкоренные выражения в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

Разложим 20 и 45 на множители:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$3 \cdot (2\sqrt{5}) - 3 \cdot (3\sqrt{5}) + 4\sqrt{5} = 6\sqrt{5} - 9\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$

Все слагаемые являются подобными, так как содержат одинаковый множитель $\sqrt{5}$. Выполним сложение и вычитание их коэффициентов:

$(6 - 9 + 4)\sqrt{5} = 1\sqrt{5} = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

б) $(1 + \sqrt{3})^2$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 1$, а $b = \sqrt{3}$.

Применим формулу:

$(1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

Выполним вычисления:

$1^2 = 1$

$2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Сложим полученные результаты:

$1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$

Ответ: $4 + 2\sqrt{3}$

в) $(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)$

Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt{7}$, а $b = 2$.

Применим формулу:

$(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) = (\sqrt{7})^2 - 2^2$

Выполним вычисления:

$(\sqrt{7})^2 = 7$

$2^2 = 4$

Найдем разность:

$7 - 4 = 3$

Ответ: $3$