Номер 2, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 2. Квадратные корни - номер 2, страница 117.

Условие.

2 Известно, что $\sqrt{a} = b$. Какое из следующих равенств верно?

1) $a^2 = b$

2) $a^2 = b^2$

3) $a = b^2$

4) $a = \sqrt{b}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

В задаче дано равенство $\sqrt{a} = b$. Необходимо найти, какое из предложенных равенств является верным следствием этого условия.

По определению арифметического квадратного корня, равенство $\sqrt{a} = b$ истинно, если число $b$ является неотрицательным ($b \ge 0$) и его квадрат равен подкоренному выражению $a$. Математически это записывается как $a = b^2$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов, используя выведенное тождество $a = b^2$.

1) $a^2 = b$

Это утверждение неверно. Оно противоречит полученному нами равенству $a = b^2$. Для проверки можно взять конкретные числа. Например, если $a = 9$, то из исходного условия $b = \sqrt{9} = 3$. Подставим эти значения в проверяемое равенство: $a^2 = 9^2 = 81$. Получаем $81 = 3$, что является ложью.

2) $a^2 = b^2$

Это утверждение в общем случае неверно. Мы знаем, что $a = b^2$. Подставим это в левую часть проверяемого равенства: $a^2 = (b^2)^2 = b^4$. Тогда равенство $a^2 = b^2$ превращается в $b^4 = b^2$. Это уравнение справедливо не для всех возможных $b$, а только для частных случаев ($b=0$ или $b=1$, так как $b \ge 0$), поэтому в общем виде оно неверно.

3) $a = b^2$

Это утверждение является прямым следствием определения арифметического квадратного корня, как было показано в самом начале. Это тождественно верное равенство.

4) $a = \sqrt{b}$

Это утверждение неверно. Подставим в него верное равенство $a = b^2$: получим $b^2 = \sqrt{b}$. Это уравнение справедливо только для $b=0$ и $b=1$, но не в общем случае. Следовательно, это утверждение неверно.

Таким образом, единственное верное равенство из предложенных — это $a = b^2$.

Ответ: 3