Номер 12, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 2. Квадратные корни - номер 12, страница 117.

Условие.

12 Упростите выражение:

а) $5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}$;

б) $3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{20}$;

в) $\frac{(2\sqrt{5})^2}{10}$;

г) $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}}$;

д) $\frac{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{80}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для упрощения выражения $5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}$ перемножим отдельно коэффициенты и отдельно корни. Используем коммутативный и ассоциативный законы умножения:
$5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = (5 \cdot 2) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$
Произведение коэффициентов: $5 \cdot 2 = 10$.
Произведение корней: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$.
Результат: $10 \cdot 3 = 30$.
Ответ: 30

б) Для упрощения выражения $3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{20}$ сгруппируем множители и воспользуемся свойством $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
$3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{20} = (3 \cdot 4) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}) = 12 \cdot \sqrt{5 \cdot 20} = 12 \cdot \sqrt{100}$
Так как $\sqrt{100} = 10$, получаем:
$12 \cdot 10 = 120$.
Ответ: 120

в) Для упрощения выражения $\frac{(2\sqrt{5})^2}{10}$ сначала возведем в квадрат числитель, используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$:
$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
Теперь подставим полученное значение обратно в дробь и выполним деление:
$\frac{20}{10} = 2$.
Ответ: 2

г) Для упрощения дроби $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}}$ сначала упростим каждый корень, вынося множитель из-под знака корня.
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
Подставим упрощенные корни в дробь:
$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} = \frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}$.
Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе:
$\frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

д) Для упрощения выражения $\frac{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{80}}$, сперва упростим числитель:
$2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{10 \cdot 2} = 2\sqrt{20}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{2\sqrt{20}}{\sqrt{80}}$.
Упростим корни в числителе и знаменателе, вынеся множители:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{2 \cdot (2\sqrt{5})}{4\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$.
Сократив дробь на $4\sqrt{5}$, получаем 1.
Ответ: 1