Страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Какое квадратное уравнение называется приведённым (фрагмент 2)? Приведите пример приведённого и неприведённого квадратного уравнения. Замените уравнение $-3x^2 - 6x + 3 = 0$ приведённым квадратным уравнением, имеющим те же корни.

Какое квадратное уравнение называется приведённым?

Квадратное уравнение, записанное в общем виде $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$), называется приведённым, если его старший коэффициент $a$ (коэффициент при $x^2$) равен единице. Приведённое квадратное уравнение обычно записывают в виде $x^2 + px + q = 0$.

Ответ: Приведённым называется квадратное уравнение, у которого старший коэффициент (коэффициент при $x^2$) равен 1.

Приведите пример приведённого и неприведённого квадратного уравнения.

Пример приведённого квадратного уравнения:
$x^2 - 5x + 6 = 0$ (старший коэффициент $a=1$).

Пример неприведённого квадратного уравнения:
$2x^2 + 7x - 4 = 0$ (старший коэффициент $a=2$, он не равен 1).

Ответ: Пример приведённого уравнения: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Пример неприведённого уравнения: $2x^2 + 7x - 4 = 0$.

Замените уравнение $-3x^2 - 6x + 3 = 0$ приведённым квадратным уравнением, имеющим те же корни.

Исходное уравнение $-3x^2 - 6x + 3 = 0$ является неприведённым, так как его старший коэффициент $a = -3$.
Чтобы получить равносильное ему приведённое уравнение (то есть уравнение с такими же корнями), необходимо разделить обе части исходного уравнения на его старший коэффициент, равный -3. Такое преобразование не изменяет корни уравнения.

Выполним деление каждого члена уравнения на -3:
$\frac{-3x^2}{-3} - \frac{6x}{-3} + \frac{3}{-3} = \frac{0}{-3}$

После упрощения получаем:
$x^2 + 2x - 1 = 0$

Это уравнение является приведённым (старший коэффициент равен 1) и имеет те же корни, что и исходное.

Ответ: $x^2 + 2x - 1 = 0$

Разберите, как решено уравнение в примере 1. Решите этим же приёмом уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Задача состоит из двух частей: разбор метода решения и применение этого метода для решения конкретного уравнения. Поскольку "пример 1" не предоставлен, мы разберем сам метод — выделение полного квадрата, — а затем применим его.

Разберите, как решено уравнение в примере 1.

Предполагаемый метод решения — выделение полного квадрата. Суть этого метода заключается в том, чтобы преобразовать левую часть квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ к виду, содержащему полный квадрат $(x+k)^2$. Для этого используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Цель — определить, какое число нужно прибавить (и вычесть, чтобы сохранить равенство) к выражению $x^2+px$, чтобы получился полный квадрат. Это число всегда равно $(\frac{p}{2})^2$. Например, для выражения $x^2-4x$, коэффициент при $x$ равен $-4$. Половина этого коэффициента равна $-2$, а ее квадрат равен $(-2)^2=4$. Таким образом, добавив 4, мы получим полный квадрат: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Ответ: Метод решения — выделение полного квадрата. Он заключается в преобразовании части уравнения к виду $(x \pm k)^2$ с помощью формул сокращенного умножения.

Решите этим же приёмом уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Дано уравнение:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

1. Перенесем свободный член (число 3) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$x^2 - 4x = -3$

2. Чтобы выделить в левой части полный квадрат, нам нужно, как мы выяснили выше, добавить число 4 (квадрат половины коэффициента при $x$). Чтобы уравнение осталось верным, мы должны добавить это же число и в правую часть:

$x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$

3. Теперь левую часть уравнения можно свернуть по формуле квадрата разности, а правую часть — упростить:

$(x-2)^2 = 1$

4. Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа есть два корня — положительный и отрицательный:

$x - 2 = \pm\sqrt{1}$

$x - 2 = \pm1$

5. Из последнего равенства получаем два линейных уравнения, решив которые найдем корни исходного уравнения:

Случай 1:

$x - 2 = 1$

$x_1 = 1 + 2 = 3$

Случай 2:

$x - 2 = -1$

$x_2 = -1 + 2 = 1$

Корнями уравнения являются числа 1 и 3.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

423 Укажите коэффициенты $a$, $b$ и $c$ квадратного уравнения:

a) $7x^2 - 8x + 4 = 0;$

б) $-2x^2 + \sqrt{2}x - 1 = 0;$

в) $-x^2 + 3x = 0;$

г) $x^2 - 12 = 0.$

Общий вид квадратного уравнения — $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b$ и $c$ — это числовые коэффициенты. Коэффициент $a$ — это множитель при $x^2$ (старший коэффициент), $b$ — множитель при $x$ (второй коэффициент), а $c$ — это свободный член.

а) В уравнении $7x^2 - 8x + 4 = 0$ коэффициенты определяются следующим образом:

• Коэффициент при $x^2$ — это $7$, значит $a = 7$.
• Коэффициент при $x$ — это $-8$, значит $b = -8$.
• Свободный член — это $4$, значит $c = 4$.

Ответ: $a = 7, b = -8, c = 4$.

б) В уравнении $-2x^2 + \sqrt{2}x - 1 = 0$ коэффициенты:

• Коэффициент при $x^2$ — это $-2$, значит $a = -2$.
• Коэффициент при $x$ — это $\sqrt{2}$, значит $b = \sqrt{2}$.
• Свободный член — это $-1$, значит $c = -1$.

Ответ: $a = -2, b = \sqrt{2}, c = -1$.

в) Уравнение $-x^2 + 3x = 0$ является неполным квадратным уравнением. Чтобы найти коэффициенты, можно представить его в стандартном виде, добавив недостающий член: $-x^2 + 3x + 0 = 0$.

• Коэффициент при $x^2$ (здесь $-x^2$ эквивалентно $-1 \cdot x^2$) — это $-1$, значит $a = -1$.
• Коэффициент при $x$ — это $3$, значит $b = 3$.
• Свободный член отсутствует, что означает, что он равен $0$, значит $c = 0$.

Ответ: $a = -1, b = 3, c = 0$.

г) Уравнение $x^2 - 12 = 0$ также является неполным. В нем отсутствует член с $x$ в первой степени. Представим его в стандартном виде: $x^2 + 0 \cdot x - 12 = 0$.

• Коэффициент при $x^2$ (здесь $x^2$ эквивалентно $1 \cdot x^2$) — это $1$, значит $a = 1$.
• Член с $x$ отсутствует, значит его коэффициент равен $0$, то есть $b = 0$.
• Свободный член — это $-12$, значит $c = -12$.

Ответ: $a = 1, b = 0, c = -12$.

424 Составьте квадратные уравнения, если известны их коэффици- енты:

а) $a = 3, b = 8, c = 2$ и $a = 8, b = 2, c = 3$;

б) $a = 1, b = 0,5, c = -1$ и $a = -1, b = 1, c = 0,5$;

в) $a = 5, b = 0, c = -3$ и $a = -3, b = 5, c = 0$.

Может ли коэффициент $a$ в квадратном уравнении быть рав- ным 0?

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — коэффициенты. Чтобы составить уравнение по заданным коэффициентам, необходимо подставить их в эту стандартную форму.

а)
Для коэффициентов $a = 3$, $b = 8$, $c = 2$ уравнение имеет вид: $3x^2 + 8x + 2 = 0$.
Для коэффициентов $a = 8$, $b = 2$, $c = 3$ уравнение имеет вид: $8x^2 + 2x + 3 = 0$.
Ответ: $3x^2 + 8x + 2 = 0$ и $8x^2 + 2x + 3 = 0$.

б)
Для коэффициентов $a = 1$, $b = 0,5$, $c = -1$ уравнение имеет вид: $1 \cdot x^2 + 0,5x - 1 = 0$, что обычно записывают как $x^2 + 0,5x - 1 = 0$.
Для коэффициентов $a = -1$, $b = 1$, $c = 0,5$ уравнение имеет вид: $-1 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 0,5 = 0$, что обычно записывают как $-x^2 + x + 0,5 = 0$.
Ответ: $x^2 + 0,5x - 1 = 0$ и $-x^2 + x + 0,5 = 0$.

в)
Для коэффициентов $a = 5$, $b = 0$, $c = -3$ получаем неполное квадратное уравнение: $5x^2 + 0 \cdot x - 3 = 0$, что записывается как $5x^2 - 3 = 0$.
Для коэффициентов $a = -3$, $b = 5$, $c = 0$ также получаем неполное квадратное уравнение: $-3x^2 + 5x + 0 = 0$, что записывается как $-3x^2 + 5x = 0$.
Ответ: $5x^2 - 3 = 0$ и $-3x^2 + 5x = 0$.

Может ли коэффициент а в квадратном уравнении быть равным 0?
Нет, коэффициент $a$ в квадратном уравнении не может быть равен нулю. Это следует из самого определения квадратного уравнения. Уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ является квадратным только при условии, что $a \neq 0$. Если $a = 0$, то член $ax^2$ исчезает, и уравнение превращается в линейное уравнение $bx + c = 0$.
Ответ: Нет, не может.

425 Покажите, что:

а) числа -7 и 5 являются корнями уравнения $x^2 + 2x - 35 = 0$;

б) число $\frac{2}{3}$ является корнем уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$, а число -2 не является;

в) числа $1 - \sqrt{2}$ и $1 + \sqrt{2}$ являются корнями уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$;

г) число $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ является корнем уравнения $x^2 - x - 1 = 0$, а число $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ нет.

а) Чтобы доказать, что числа являются корнями уравнения, необходимо подставить их в уравнение вместо переменной $x$. Если в результате получится верное равенство (0 = 0), то число является корнем.

Проверим для уравнения $x^2 + 2x - 35 = 0$:
1. Подставляем $x = -7$:
$(-7)^2 + 2(-7) - 35 = 49 - 14 - 35 = 35 - 35 = 0$.
Равенство верно, значит, -7 — корень уравнения.
2. Подставляем $x = 5$:
$5^2 + 2(5) - 35 = 25 + 10 - 35 = 35 - 35 = 0$.
Равенство верно, значит, 5 — корень уравнения.
Ответ: Утверждение доказано, оба числа являются корнями уравнения.

б) Проверим для уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$:
1. Подставляем $x = \frac{2}{3}$:
$3 \cdot (\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} - 2 = 3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 2 = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} - 2 = \frac{6}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$.
Равенство верно, значит, $\frac{2}{3}$ является корнем уравнения.
2. Подставляем $x = -2$:
$3 \cdot (-2)^2 + (-2) - 2 = 3 \cdot 4 - 2 - 2 = 12 - 4 = 8$.
Поскольку $8 \neq 0$, число -2 не является корнем уравнения.
Ответ: Утверждение доказано.

в) Проверим для уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$:
1. Подставляем $x = 1 - \sqrt{2}$:
$(1 - \sqrt{2})^2 - 2(1 - \sqrt{2}) - 1 = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - (2 - 2\sqrt{2}) - 1 = 3 - 2\sqrt{2} - 2 + 2\sqrt{2} - 1 = 0$.
Равенство верно, значит, $1 - \sqrt{2}$ является корнем уравнения.
2. Подставляем $x = 1 + \sqrt{2}$:
$(1 + \sqrt{2})^2 - 2(1 + \sqrt{2}) - 1 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) - (2 + 2\sqrt{2}) - 1 = 3 + 2\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2} - 1 = 0$.
Равенство верно, значит, $1 + \sqrt{2}$ является корнем уравнения.
Ответ: Утверждение доказано, оба числа являются корнями уравнения.

г) Проверим для уравнения $x^2 - x - 1 = 0$:
1. Подставляем $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$:
$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1+\sqrt{5}}{2}) - 1 = \frac{1^2 + 2\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{4} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{1+2\sqrt{5}+5}{4} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{2}{2} = \frac{3+\sqrt{5}-1-\sqrt{5}-2}{2} = \frac{0}{2} = 0$.
Равенство верно, значит, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ является корнем уравнения.
2. Подставляем $x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$:
$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2 - (\frac{\sqrt{5}-1}{2}) - 1 = \frac{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} + 1^2}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{5-2\sqrt{5}+1}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{6-2\sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{3-\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - \frac{2}{2} = \frac{3-\sqrt{5}-(\sqrt{5}-1)-2}{2} = \frac{3-2\sqrt{5}+1-2}{2} = \frac{2-2\sqrt{5}}{2} = 1 - \sqrt{5}$.
Поскольку $1 - \sqrt{5} \neq 0$, число $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ не является корнем уравнения.
Ответ: Утверждение доказано.

426 Решите уравнения:

$(x + 5)^2 = 4$, $(x - 2)^2 = 3$, $(x + 7)^2 = 0$, $(x - 6)^2 = -9$.

$(x + 5)^2 = 4$
Чтобы решить данное уравнение, необходимо извлечь квадратный корень из обеих его частей. Это приводит к двум возможным случаям, так как $\sqrt{4} = 2$.
$x + 5 = 2$ или $x + 5 = -2$.
Рассмотрим каждый случай отдельно:
1) $x + 5 = 2$
$x_1 = 2 - 5$
$x_1 = -3$
2) $x + 5 = -2$
$x_2 = -2 - 5$
$x_2 = -7$
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $-7; -3$.

$(x - 2)^2 = 3$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Корень из 3 является иррациональным числом, так и оставим его под знаком корня.
$x - 2 = \sqrt{3}$ или $x - 2 = -\sqrt{3}$.
Из этих двух уравнений находим два корня:
1) $x - 2 = \sqrt{3}$
$x_1 = 2 + \sqrt{3}$
2) $x - 2 = -\sqrt{3}$
$x_2 = 2 - \sqrt{3}$
Корни можно записать в компактной форме.
Ответ: $2 \pm \sqrt{3}$.

$(x + 7)^2 = 0$
Квадрат некоторого выражения равен нулю только в том случае, если само это выражение равно нулю.
Следовательно, мы можем записать:
$x + 7 = 0$
Решая это простое линейное уравнение, получаем:
$x = -7$
Данное уравнение имеет один корень.
Ответ: $-7$.

$(x - 6)^2 = -9$
Левая часть уравнения, $(x - 6)^2$, представляет собой квадрат действительного числа. Свойство квадрата любого действительного числа заключается в том, что он всегда неотрицателен, то есть $ (x - 6)^2 \ge 0 $.
Правая часть уравнения равна $-9$, что является отрицательным числом.
Поскольку неотрицательное значение не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет корней.

427 Подберите недостающий член квадратного трёхчлена так, чтобы его можно было представить в виде квадрата двучлена:

а) $x^2 + 8x + \dots;$

б) $x^2 - 18x + \dots;$

в) $z^2 + 3z + \dots;$

г) $a^2 + a + \dots$

а) Чтобы представить выражение $x^2 + 8x + ...$ в виде квадрата двучлена, необходимо дополнить его до полного квадрата. Мы будем использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2 + 8x + ...$ первый член $a^2$ соответствует $x^2$, следовательно, $a=x$.

Удвоенное произведение первого члена на второй, $2ab$, соответствует $8x$. Подставим $a=x$: $2 \cdot x \cdot b = 8x$.

Отсюда мы можем найти второй член двучлена $b$: $b = \frac{8x}{2x} = 4$.

Недостающий член квадратного трёхчлена — это квадрат второго члена двучлена, то есть $b^2$.

Вычисляем $b^2 = 4^2 = 16$.

Таким образом, исходное выражение дополняется до $x^2 + 8x + 16$, что является квадратом двучлена $(x+4)^2$.

Ответ: 16.

б) Для выражения $x^2 - 18x + ...$ мы будем использовать формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Первый член $a^2$ соответствует $x^2$, значит, $a=x$.

Удвоенное произведение $2ab$ соответствует $18x$. Подставим $a=x$: $2 \cdot x \cdot b = 18x$.

Находим второй член двучлена $b$: $b = \frac{18x}{2x} = 9$.

Недостающий член — это $b^2$.

Вычисляем $b^2 = 9^2 = 81$.

В результате получаем $x^2 - 18x + 81$, что равно $(x-9)^2$.

Ответ: 81.

в) Для выражения $z^2 + 3z + ...$ снова используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Первый член $a^2$ соответствует $z^2$, следовательно, $a=z$.

Удвоенное произведение $2ab$ соответствует $3z$. Подставим $a=z$: $2 \cdot z \cdot b = 3z$.

Находим второй член двучлена $b$: $b = \frac{3z}{2z} = \frac{3}{2}$.

Недостающий член — это $b^2$.

Вычисляем $b^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

В результате получаем $z^2 + 3z + \frac{9}{4}$, что равно $(z+\frac{3}{2})^2$.

Ответ: $\frac{9}{4}$.

г) Для выражения $a^2 + a + ...$ используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член $x^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $x=a$.

Удвоенное произведение $2xy$ соответствует $a$. Обратите внимание, что коэффициент при $a$ равен 1. Подставим $x=a$: $2 \cdot a \cdot y = a$.

Находим второй член двучлена $y$: $y = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.

Недостающий член — это $y^2$.

Вычисляем $y^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

В результате получаем $a^2 + a + \frac{1}{4}$, что равно $(a+\frac{1}{2})^2$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

428 Заполните пропуски в цепочке равенств:

а) $x^2 + 4x - 1 = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + \ldots - \ldots - 1 = (x + \ldots)^2 - \ldots;$

б) $a^2 - 6a + 15 = a^2 - 2 \cdot 3 \cdot a + \ldots - \ldots + 15 = (a - \ldots)^2 + \ldots;$

В) $b^2 - 3b + 3 = b^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot b + \ldots - \ldots + 3 = (\ldots - \ldots)^2 + \ldots;$

Г) $p^2 - 7p - 10 = p^2 - 2 \cdot \frac{7}{2} \cdot p + \ldots - \ldots - 10 = (\ldots - \ldots)^2 - \ldots$

а) В выражении $x^2 + 4x - 1$ для выделения полного квадрата по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ мы видим, что $a=x$, а $2ab = 4x$, откуда $b=2$. Недостающее слагаемое для полного квадрата — это $b^2 = 2^2 = 4$. Чтобы не изменить исходное выражение, мы должны добавить и вычесть это число:
$x^2 + 4x + 4 - 4 - 1$.
Теперь группируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат, и вычисляем оставшуюся часть:
$(x^2 + 4x + 4) - 4 - 1 = (x+2)^2 - 5$.
Таким образом, заполненная цепочка равенств выглядит так:
$x^2 + 4x - 1 = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + 4 - 4 - 1 = (x + 2)^2 - 5$.
Ответ: $x^2 + 4x - 1 = x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + \mathbf{4} - \mathbf{4} - 1 = (x + \mathbf{2})^2 - \mathbf{5}$

б) В выражении $a^2 - 6a + 15$ для выделения полного квадрата по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ мы видим, что $x=a$, а $2xy = 6a$, откуда $y=3$. Недостающее слагаемое для полного квадрата — это $y^2 = 3^2 = 9$. Добавляем и вычитаем это число:
$a^2 - 6a + 9 - 9 + 15$.
Группируем первые три слагаемых и вычисляем оставшуюся часть:
$(a^2 - 6a + 9) - 9 + 15 = (a-3)^2 + 6$.
Таким образом, заполненная цепочка равенств выглядит так:
$a^2 - 6a + 15 = a^2 - 2 \cdot 3 \cdot a + 9 - 9 + 15 = (a - 3)^2 + 6$.
Ответ: $a^2 - 6a + 15 = a^2 - 2 \cdot 3 \cdot a + \mathbf{9} - \mathbf{9} + 15 = (a - \mathbf{3})^2 + \mathbf{6}$

в) В выражении $b^2 - 3b + 3$ для выделения полного квадрата по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ мы видим, что $x=b$, а $2xy = 3b$, откуда $y=\frac{3}{2}$. Недостающее слагаемое — это $y^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$. Добавляем и вычитаем это число:
$b^2 - 3b + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 3$.
Группируем, сворачиваем квадрат и вычисляем остаток:
$(b^2 - 3b + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 3 = (b - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = (b - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
Заполненная цепочка равенств (где в скобках $(\dots - \dots)^2$ первый пропуск это переменная $b$):
$b^2 - 3b + 3 = b^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot b + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 3 = (b - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
Ответ: $b^2 - 3b + 3 = b^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot b + \mathbf{\frac{9}{4}} - \mathbf{\frac{9}{4}} + 3 = (\mathbf{b} - \mathbf{\frac{3}{2}})^2 + \mathbf{\frac{3}{4}}$

г) В выражении $p^2 - 7p - 10$ для выделения полного квадрата по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ мы видим, что $x=p$, а $2xy = 7p$, откуда $y=\frac{7}{2}$. Недостающее слагаемое — это $y^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$. Добавляем и вычитаем это число:
$p^2 - 7p + \frac{49}{4} - \frac{49}{4} - 10$.
Группируем, сворачиваем квадрат и вычисляем остаток:
$(p^2 - 7p + \frac{49}{4}) - \frac{49}{4} - 10 = (p - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} - \frac{40}{4} = (p - \frac{7}{2})^2 - \frac{89}{4}$.
Заполненная цепочка равенств (где в скобках $(\dots - \dots)^2$ первый пропуск это переменная $p$):
$p^2 - 7p - 10 = p^2 - 2 \cdot \frac{7}{2} \cdot p + \frac{49}{4} - \frac{49}{4} - 10 = (p - \frac{7}{2})^2 - \frac{89}{4}$.
Ответ: $p^2 - 7p - 10 = p^2 - 2 \cdot \frac{7}{2} \cdot p + \mathbf{\frac{49}{4}} - \mathbf{\frac{49}{4}} - 10 = (\mathbf{p} - \mathbf{\frac{7}{2}})^2 - \mathbf{\frac{89}{4}}$