Страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

429 Решите уравнение, выделив квадрат двучлена:

а) $x^2 + 12x + 20 = 0$;

б) $y^2 + 14y + 24 = 0$;

в) $z^2 - 6z + 9 = 0$;

г) $y^2 - 2y + 3 = 0$.

Подсказка. В качестве образцов используйте примеры 1 и 2.

а) $x^2 + 12x + 20 = 0$

Для решения уравнения методом выделения квадрата двучлена воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем уравнении $x^2 + 12x + 20 = 0$, $a=x$. Слагаемое $12x$ является удвоенным произведением $2ab$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 12x$, откуда $b=6$.
Чтобы получить полный квадрат $(x+6)^2$, нам необходимо слагаемое $b^2 = 6^2 = 36$.
Добавим и вычтем $36$ в левой части уравнения, чтобы не изменить его:
$x^2 + 12x + 36 - 36 + 20 = 0$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:
$(x^2 + 12x + 36) - 36 + 20 = 0$

Свернем скобку по формуле и упростим оставшиеся числа:
$(x+6)^2 - 16 = 0$

Теперь решим полученное уравнение:
$(x+6)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x+6 = \pm\sqrt{16}$
$x+6 = \pm4$

Разобьем на два случая:
1) $x+6 = 4 \Rightarrow x_1 = 4 - 6 = -2$
2) $x+6 = -4 \Rightarrow x_2 = -4 - 6 = -10$

Ответ: -10; -2.

б) $y^2 + 14y + 24 = 0$

Выделим квадрат двучлена. Здесь $2b = 14$, значит, $b=7$, а $b^2 = 7^2 = 49$.
Добавим и вычтем $49$ в левой части:
$y^2 + 14y + 49 - 49 + 24 = 0$

Группируем и сворачиваем полный квадрат:
$(y^2 + 14y + 49) - 49 + 24 = 0$
$(y+7)^2 - 25 = 0$

Решаем уравнение:
$(y+7)^2 = 25$
$y+7 = \pm\sqrt{25}$
$y+7 = \pm5$

Находим корни:
1) $y+7 = 5 \Rightarrow y_1 = 5 - 7 = -2$
2) $y+7 = -5 \Rightarrow y_2 = -5 - 7 = -12$

Ответ: -12; -2.

в) $z^2 - 6z + 9 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения уже является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=z$ и $b=3$.
$z^2 - 2 \cdot z \cdot 3 + 3^2 = 0$

Свернем выражение в квадрат двучлена:
$(z-3)^2 = 0$

Извлекаем корень:
$z-3 = 0$
$z = 3$

Ответ: 3.

г) $y^2 - 2y + 3 = 0$

Выделим квадрат двучлена. Здесь $2b=2$, значит, $b=1$, а $b^2 = 1^2 = 1$.
Добавим и вычтем $1$ в левой части:
$y^2 - 2y + 1 - 1 + 3 = 0$

Группируем и сворачиваем полный квадрат:
$(y^2 - 2y + 1) - 1 + 3 = 0$
$(y-1)^2 + 2 = 0$

Перенесем 2 в правую часть:
$(y-1)^2 = -2$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $(y-1)^2 \ge 0$ для любого $y$, а $-2 < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

430 Составьте все возможные квадратные уравнения, коэффициен-тами которых являются числа:

a) 8; 2 и -3;

б) 5; 1 и 0.

Общий вид квадратного уравнения — это $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ являются коэффициентами. Ключевое условие для квадратного уравнения заключается в том, что старший коэффициент $a$ (коэффициент при $x^2$) не может быть равен нулю ($a \neq 0$). Задача состоит в том, чтобы составить все возможные квадратные уравнения, используя данные числа в качестве коэффициентов $a$, $b$ и $c$, применяя каждое число из набора ровно один раз в каждом уравнении.

а) Даны числа: 8, 2 и -3.
Поскольку ни одно из данных чисел не равно нулю, любое из них может быть старшим коэффициентом $a$. Необходимо найти все возможные перестановки этих трех чисел для коэффициентов $a$, $b$ и $c$. Количество перестановок из 3-х различных элементов равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Все шесть возможных уравнений:
1. $a=8, b=2, c=-3 \implies 8x^2 + 2x - 3 = 0$
2. $a=8, b=-3, c=2 \implies 8x^2 - 3x + 2 = 0$
3. $a=2, b=8, c=-3 \implies 2x^2 + 8x - 3 = 0$
4. $a=2, b=-3, c=8 \implies 2x^2 - 3x + 8 = 0$
5. $a=-3, b=8, c=2 \implies -3x^2 + 8x + 2 = 0$
6. $a=-3, b=2, c=8 \implies -3x^2 + 2x + 8 = 0$

Ответ: $8x^2 + 2x - 3 = 0$; $8x^2 - 3x + 2 = 0$; $2x^2 + 8x - 3 = 0$; $2x^2 - 3x + 8 = 0$; $-3x^2 + 8x + 2 = 0$; $-3x^2 + 2x + 8 = 0$.

б) Даны числа: 5, 1 и 0.
В этом наборе есть число 0. Согласно определению квадратного уравнения, коэффициент $a$ при $x^2$ не должен быть равен нулю. Поэтому $a$ может принимать значения 5 или 1, но не 0.
Рассмотрим все возможные случаи:
Случай 1: старший коэффициент $a = 5$.
Для коэффициентов $b$ и $c$ остаются числа 1 и 0. Отсюда получаем два уравнения:
- Если $b=1, c=0$, то уравнение $5x^2 + 1x + 0 = 0$, которое упрощается до $5x^2 + x = 0$.
- Если $b=0, c=1$, то уравнение $5x^2 + 0x + 1 = 0$, которое упрощается до $5x^2 + 1 = 0$.

Случай 2: старший коэффициент $a = 1$.
Для коэффициентов $b$ и $c$ остаются числа 5 и 0. Отсюда получаем еще два уравнения:
- Если $b=5, c=0$, то уравнение $1x^2 + 5x + 0 = 0$, которое упрощается до $x^2 + 5x = 0$.
- Если $b=0, c=5$, то уравнение $1x^2 + 0x + 5 = 0$, которое упрощается до $x^2 + 5 = 0$.

Всего можно составить 4 различных квадратных уравнения.

Ответ: $5x^2 + x = 0$; $5x^2 + 1 = 0$; $x^2 + 5x = 0$; $x^2 + 5 = 0$.

431 Решите уравнение:

а) $3x^2 - 4x - 4 = 0;$

б) $2x^2 + 3x + 6 = 0;$

в) $9x^2 - 6x + 1 = 0;$

г) $x^2 - 2x + 2 = 0;$

д) $2x^2 + 7x + 6 = 0;$

е) $4x^2 - 12x + 9 = 0.$

Подсказка. Воспользуйтесь образцом, приведённым в примере 3.

а) Дано уравнение $3x^2 - 4x - 4 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 3$, $b = -4$, $c = -4$.

Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + 8}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-4) - 8}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -\frac{2}{3}$.

б) Дано уравнение $2x^2 + 3x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 2$, $b = 3$, $c = 6$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 - 48 = -39$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

в) Дано уравнение $9x^2 - 6x + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 9$, $b = -6$, $c = 1$.

Левую часть уравнения можно свернуть по формуле квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$:

$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x-1)^2$.

Получаем уравнение $(3x - 1)^2 = 0$, откуда $3x - 1 = 0$, $3x = 1$, $x = \frac{1}{3}$.

Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-(-6)}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

г) Дано уравнение $x^2 - 2x + 2 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 1$, $b = -2$, $c = 2$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

д) Дано уравнение $2x^2 + 7x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 2$, $b = 7$, $c = 6$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$.

$x_2 = \frac{-7 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$.

Ответ: $x_1 = -1,5$, $x_2 = -2$.

е) Дано уравнение $4x^2 - 12x + 9 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 4$, $b = -12$, $c = 9$.

Левую часть уравнения можно свернуть по формуле квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$:

$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$.

Получаем уравнение $(2x - 3)^2 = 0$, откуда $2x - 3 = 0$, $2x = 3$, $x = \frac{3}{2} = 1,5$.

Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-(-12)}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $x = 1,5$.

432 РАССУЖДАЕМ Составьте какое-нибудь квадратное уравнение, которое:

а) не имеет корней;

б) имеет два целых корня;

в) имеет два иррациональных корня;

г) имеет один корень.

а) не имеет корней;

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Нам нужно подобрать такие коэффициенты $a$, $b$ и $c$, чтобы выполнялось условие $D < 0$.

Возьмем, к примеру, $a=1$. Тогда условие превращается в $b^2 - 4c < 0$, или $b^2 < 4c$. Выберем простые целые значения для $b$ и $c$. Пусть $b=1$, тогда $1 < 4c$, откуда $c > 1/4$. Возьмем $c=1$.

Таким образом, мы получаем уравнение $x^2 + x + 1 = 0$. Проверим его дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Поскольку $D = -3 < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $x^2 + x + 1 = 0$

б) имеет два целых корня;

Чтобы составить квадратное уравнение с двумя целыми корнями, удобно воспользоваться обратной теоремой Виета. Если $x_1$ и $x_2$ — это корни приведенного квадратного уравнения (с коэффициентом $a=1$), то уравнение можно записать в виде $(x-x_1)(x-x_2)=0$, что после раскрытия скобок дает $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Если мы выберем целые числа в качестве корней, то коэффициенты уравнения также будут целыми.

Выберем два произвольных целых корня, например, $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Найдем их сумму $x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$ и произведение $x_1x_2 = 2 \cdot 3 = 6$.

Подставив эти значения в формулу, получим уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Его корнями являются числа 2 и 3, которые оба являются целыми.

Ответ: $x^2 - 5x + 6 = 0$

в) имеет два иррациональных корня;

Корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$. Чтобы корни были иррациональными, дискриминант $D$ должен быть положительным ($D>0$), но при этом не должен являться точным квадратом какого-либо рационального числа. В этом случае $\sqrt{D}$ будет иррациональным числом, и, как следствие, корни уравнения также будут иррациональными.

Подберем коэффициенты $a$, $b$ и $c$. Возьмем $a=1$ и $c=1$. Тогда дискриминант $D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = b^2 - 4$. Нам нужно, чтобы $b^2 - 4$ было положительным числом, не являющимся полным квадратом.

Пусть $b=3$. Тогда $D = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. Число 5 положительное и не является квадратом целого числа, значит $\sqrt{5}$ — иррациональное число. Уравнение имеет вид $x^2 + 3x + 1 = 0$. Его корни $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ являются иррациональными.

Ответ: $x^2 + 3x + 1 = 0$

г) имеет один корень.

Квадратное уравнение имеет ровно один корень (или два совпадающих корня), когда его дискриминант равен нулю: $D = b^2 - 4ac = 0$. Это означает, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат двучлена, то есть может быть записана в виде $(kx+m)^2 = 0$.

Самый простой способ составить такое уравнение — выбрать корень и возвести соответствующий двучлен в квадрат. Пусть единственный корень уравнения равен $x=4$. Тогда уравнение можно записать как $(x-4)^2 = 0$.

Раскроем скобки: $(x-4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$. Итак, мы получили уравнение $x^2 - 8x + 16 = 0$.

Проверим его дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$. Так как $D=0$, у уравнения один корень, что и требовалось.

Ответ: $x^2 - 8x + 16 = 0$

433 Выделите в трёхчлене квадрат двучлена:

а) $x^2 - 2x + c;$

б) $x^2 + bx + c.$

а) Чтобы выделить квадрат двучлена в трёхчлене $x^2 - 2x + c$, необходимо дополнить первые два члена до полного квадрата. Мы будем использовать формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = x^2$, следовательно, $a=x$. Член $-2x$ соответствует $-2ab$. Подставив $a=x$, получаем $-2x = -2 \cdot x \cdot b$, откуда следует, что $b=1$.

Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1 в исходном выражении, чтобы не изменить его значение:

$x^2 - 2x + c = (x^2 - 2x + 1) - 1 + c$

Теперь первые три слагаемых образуют полный квадрат $(x-1)^2$. Заменим их:

$(x - 1)^2 - 1 + c$

Перегруппируем слагаемые для большей наглядности:

$(x - 1)^2 + (c - 1)$

Ответ: $(x - 1)^2 + c - 1$

б) Для выделения квадрата двучлена в общем виде $x^2 + bx + c$ мы используем формулу квадрата суммы: $(a+k)^2 = a^2 + 2ak + k^2$.

В нашем трёхчлене $a^2$ соответствует $x^2$, значит $a=x$. Член $bx$ соответствует удвоенному произведению $2ak$. То есть, $2xk = bx$. Отсюда мы можем найти $k$: $k = \frac{bx}{2x} = \frac{b}{2}$.

Чтобы получить полный квадрат, нам необходимо добавить слагаемое $k^2 = (\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$. Мы добавим и одновременно вычтем это слагаемое, чтобы значение всего выражения не изменилось:

$x^2 + bx + c = x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + c$

Теперь сгруппируем первые три члена, которые образуют полный квадрат:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2) - \frac{b^2}{4} + c$

Заменим выражение в скобках на квадрат двучлена $(x + \frac{b}{2})^2$:

$(x + \frac{b}{2})^2 + c - \frac{b^2}{4}$

Ответ: $(x + \frac{b}{2})^2 + c - \frac{b^2}{4}$

434 ДОКАЗЫВАЕМ Покажите, что:

а) числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения

$x^2 - (m + n)x + mn = 0$;

б) числа $m + n$ и $m - n$ являются корнями уравнения

$x^2 - 2mx + m^2 - n^2 = 0$.

Составьте уравнения такого вида, подставив вместо $m$ и $n$ конкретные числа, и укажите корни каждого составленного уравнения.

а)

Чтобы доказать, что числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения $x^2 - (m + n)x + mn = 0$, воспользуемся обратной теоремой Виета. Она гласит, что если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

В нашем уравнении $x^2 - (m + n)x + mn = 0$ коэффициенты при $x$ и свободный член равны $p = -(m + n)$ и $q = mn$ соответственно.

Проверим, выполняются ли условия теоремы для чисел $m$ и $n$:

1. Сумма чисел: $m + n$. По теореме Виета, сумма корней должна быть равна $-p = -(-(m+n)) = m+n$. Условие выполняется.

2. Произведение чисел: $m \cdot n$. По теореме Виета, произведение корней должно быть равно $q = mn$. Условие выполняется.

Поскольку оба условия обратной теоремы Виета выполнены, числа $m$ и $n$ являются корнями данного уравнения.

Ответ: Доказано, что $m$ и $n$ являются корнями уравнения $x^2 - (m + n)x + mn = 0$.

б)

Аналогично докажем, что числа $m+n$ и $m-n$ являются корнями уравнения $x^2 - 2mx + m^2 - n^2 = 0$.

В этом уравнении коэффициенты равны $p = -2m$ и $q = m^2 - n^2$.

Проверим условия обратной теоремы Виета для чисел $m+n$ и $m-n$:

1. Сумма чисел: $(m+n) + (m-n) = m+n+m-n = 2m$. По теореме Виета, сумма корней должна быть равна $-p = -(-2m) = 2m$. Условие выполняется.

2. Произведение чисел: $(m+n)(m-n) = m^2 - n^2$ (по формуле разности квадратов). По теореме Виета, произведение корней должно быть равно $q = m^2 - n^2$. Условие выполняется.

Так как оба условия выполнены, числа $m+n$ и $m-n$ являются корнями данного уравнения.

Ответ: Доказано, что $m+n$ и $m-n$ являются корнями уравнения $x^2 - 2mx + m^2 - n^2 = 0$.

Составление уравнений с конкретными числами

Выберем произвольные конкретные числа, например, $m = 5$ и $n = 2$.

Уравнение по образцу пункта а)

Подставим $m = 5$ и $n = 2$ в уравнение $x^2 - (m + n)x + mn = 0$:

$x^2 - (5 + 2)x + 5 \cdot 2 = 0$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Корнями этого уравнения являются числа $m$ и $n$.

Ответ: Уравнение: $x^2 - 7x + 10 = 0$; корни: $5$ и $2$.

Уравнение по образцу пункта б)

Подставим $m = 5$ и $n = 2$ в уравнение $x^2 - 2mx + m^2 - n^2 = 0$:

$x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + (5^2 - 2^2) = 0$

$x^2 - 10x + (25 - 4) = 0$

$x^2 - 10x + 21 = 0$

Корнями этого уравнения являются числа $m+n$ и $m-n$: $5+2=7$ и $5-2=3$.

Ответ: Уравнение: $x^2 - 10x + 21 = 0$; корни: $7$ и $3$.