Номер 430, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 430, страница 124.

Условие.

430 Составьте все возможные квадратные уравнения, коэффициен-тами которых являются числа:

a) 8; 2 и -3;

б) 5; 1 и 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Общий вид квадратного уравнения — это $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ являются коэффициентами. Ключевое условие для квадратного уравнения заключается в том, что старший коэффициент $a$ (коэффициент при $x^2$) не может быть равен нулю ($a \neq 0$). Задача состоит в том, чтобы составить все возможные квадратные уравнения, используя данные числа в качестве коэффициентов $a$, $b$ и $c$, применяя каждое число из набора ровно один раз в каждом уравнении.

а) Даны числа: 8, 2 и -3.
Поскольку ни одно из данных чисел не равно нулю, любое из них может быть старшим коэффициентом $a$. Необходимо найти все возможные перестановки этих трех чисел для коэффициентов $a$, $b$ и $c$. Количество перестановок из 3-х различных элементов равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Все шесть возможных уравнений:
1. $a=8, b=2, c=-3 \implies 8x^2 + 2x - 3 = 0$
2. $a=8, b=-3, c=2 \implies 8x^2 - 3x + 2 = 0$
3. $a=2, b=8, c=-3 \implies 2x^2 + 8x - 3 = 0$
4. $a=2, b=-3, c=8 \implies 2x^2 - 3x + 8 = 0$
5. $a=-3, b=8, c=2 \implies -3x^2 + 8x + 2 = 0$
6. $a=-3, b=2, c=8 \implies -3x^2 + 2x + 8 = 0$

Ответ: $8x^2 + 2x - 3 = 0$; $8x^2 - 3x + 2 = 0$; $2x^2 + 8x - 3 = 0$; $2x^2 - 3x + 8 = 0$; $-3x^2 + 8x + 2 = 0$; $-3x^2 + 2x + 8 = 0$.

б) Даны числа: 5, 1 и 0.
В этом наборе есть число 0. Согласно определению квадратного уравнения, коэффициент $a$ при $x^2$ не должен быть равен нулю. Поэтому $a$ может принимать значения 5 или 1, но не 0.
Рассмотрим все возможные случаи:
Случай 1: старший коэффициент $a = 5$.
Для коэффициентов $b$ и $c$ остаются числа 1 и 0. Отсюда получаем два уравнения:
- Если $b=1, c=0$, то уравнение $5x^2 + 1x + 0 = 0$, которое упрощается до $5x^2 + x = 0$.
- Если $b=0, c=1$, то уравнение $5x^2 + 0x + 1 = 0$, которое упрощается до $5x^2 + 1 = 0$.

Случай 2: старший коэффициент $a = 1$.
Для коэффициентов $b$ и $c$ остаются числа 5 и 0. Отсюда получаем еще два уравнения:
- Если $b=5, c=0$, то уравнение $1x^2 + 5x + 0 = 0$, которое упрощается до $x^2 + 5x = 0$.
- Если $b=0, c=5$, то уравнение $1x^2 + 0x + 5 = 0$, которое упрощается до $x^2 + 5 = 0$.

Всего можно составить 4 различных квадратных уравнения.

Ответ: $5x^2 + x = 0$; $5x^2 + 1 = 0$; $x^2 + 5x = 0$; $x^2 + 5 = 0$.