Номер 425, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 425, страница 123.

Условие.

425 Покажите, что:

а) числа -7 и 5 являются корнями уравнения $x^2 + 2x - 35 = 0$;

б) число $\frac{2}{3}$ является корнем уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$, а число -2 не является;

в) числа $1 - \sqrt{2}$ и $1 + \sqrt{2}$ являются корнями уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$;

г) число $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ является корнем уравнения $x^2 - x - 1 = 0$, а число $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ нет.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы доказать, что числа являются корнями уравнения, необходимо подставить их в уравнение вместо переменной $x$. Если в результате получится верное равенство (0 = 0), то число является корнем.

Проверим для уравнения $x^2 + 2x - 35 = 0$:
1. Подставляем $x = -7$:
$(-7)^2 + 2(-7) - 35 = 49 - 14 - 35 = 35 - 35 = 0$.
Равенство верно, значит, -7 — корень уравнения.
2. Подставляем $x = 5$:
$5^2 + 2(5) - 35 = 25 + 10 - 35 = 35 - 35 = 0$.
Равенство верно, значит, 5 — корень уравнения.
Ответ: Утверждение доказано, оба числа являются корнями уравнения.

б) Проверим для уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$:
1. Подставляем $x = \frac{2}{3}$:
$3 \cdot (\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} - 2 = 3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 2 = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} - 2 = \frac{6}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$.
Равенство верно, значит, $\frac{2}{3}$ является корнем уравнения.
2. Подставляем $x = -2$:
$3 \cdot (-2)^2 + (-2) - 2 = 3 \cdot 4 - 2 - 2 = 12 - 4 = 8$.
Поскольку $8 \neq 0$, число -2 не является корнем уравнения.
Ответ: Утверждение доказано.

в) Проверим для уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$:
1. Подставляем $x = 1 - \sqrt{2}$:
$(1 - \sqrt{2})^2 - 2(1 - \sqrt{2}) - 1 = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - (2 - 2\sqrt{2}) - 1 = 3 - 2\sqrt{2} - 2 + 2\sqrt{2} - 1 = 0$.
Равенство верно, значит, $1 - \sqrt{2}$ является корнем уравнения.
2. Подставляем $x = 1 + \sqrt{2}$:
$(1 + \sqrt{2})^2 - 2(1 + \sqrt{2}) - 1 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) - (2 + 2\sqrt{2}) - 1 = 3 + 2\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2} - 1 = 0$.
Равенство верно, значит, $1 + \sqrt{2}$ является корнем уравнения.
Ответ: Утверждение доказано, оба числа являются корнями уравнения.

г) Проверим для уравнения $x^2 - x - 1 = 0$:
1. Подставляем $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$:
$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1+\sqrt{5}}{2}) - 1 = \frac{1^2 + 2\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{4} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{1+2\sqrt{5}+5}{4} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{2}{2} = \frac{3+\sqrt{5}-1-\sqrt{5}-2}{2} = \frac{0}{2} = 0$.
Равенство верно, значит, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ является корнем уравнения.
2. Подставляем $x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$:
$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2 - (\frac{\sqrt{5}-1}{2}) - 1 = \frac{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} + 1^2}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{5-2\sqrt{5}+1}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{6-2\sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{3-\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - \frac{2}{2} = \frac{3-\sqrt{5}-(\sqrt{5}-1)-2}{2} = \frac{3-2\sqrt{5}+1-2}{2} = \frac{2-2\sqrt{5}}{2} = 1 - \sqrt{5}$.
Поскольку $1 - \sqrt{5} \neq 0$, число $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ не является корнем уравнения.
Ответ: Утверждение доказано.