Номер 431, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 431, страница 124.

Условие.

431 Решите уравнение:

а) $3x^2 - 4x - 4 = 0;$

б) $2x^2 + 3x + 6 = 0;$

в) $9x^2 - 6x + 1 = 0;$

г) $x^2 - 2x + 2 = 0;$

д) $2x^2 + 7x + 6 = 0;$

е) $4x^2 - 12x + 9 = 0.$

Подсказка. Воспользуйтесь образцом, приведённым в примере 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дано уравнение $3x^2 - 4x - 4 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 3$, $b = -4$, $c = -4$.

Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + 8}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-4) - 8}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -\frac{2}{3}$.

б) Дано уравнение $2x^2 + 3x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 2$, $b = 3$, $c = 6$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 - 48 = -39$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

в) Дано уравнение $9x^2 - 6x + 1 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 9$, $b = -6$, $c = 1$.

Левую часть уравнения можно свернуть по формуле квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$:

$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x-1)^2$.

Получаем уравнение $(3x - 1)^2 = 0$, откуда $3x - 1 = 0$, $3x = 1$, $x = \frac{1}{3}$.

Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-(-6)}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

г) Дано уравнение $x^2 - 2x + 2 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 1$, $b = -2$, $c = 2$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

д) Дано уравнение $2x^2 + 7x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 2$, $b = 7$, $c = 6$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$.

$x_2 = \frac{-7 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$.

Ответ: $x_1 = -1,5$, $x_2 = -2$.

е) Дано уравнение $4x^2 - 12x + 9 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 4$, $b = -12$, $c = 9$.

Левую часть уравнения можно свернуть по формуле квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$:

$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$.

Получаем уравнение $(2x - 3)^2 = 0$, откуда $2x - 3 = 0$, $2x = 3$, $x = \frac{3}{2} = 1,5$.

Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-(-12)}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $x = 1,5$.