Номер 434, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 434, страница 124.

Условие.

434 ДОКАЗЫВАЕМ Покажите, что:

а) числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения

$x^2 - (m + n)x + mn = 0$;

б) числа $m + n$ и $m - n$ являются корнями уравнения

$x^2 - 2mx + m^2 - n^2 = 0$.

Составьте уравнения такого вида, подставив вместо $m$ и $n$ конкретные числа, и укажите корни каждого составленного уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы доказать, что числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения $x^2 - (m + n)x + mn = 0$, воспользуемся обратной теоремой Виета. Она гласит, что если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

В нашем уравнении $x^2 - (m + n)x + mn = 0$ коэффициенты при $x$ и свободный член равны $p = -(m + n)$ и $q = mn$ соответственно.

Проверим, выполняются ли условия теоремы для чисел $m$ и $n$:

1. Сумма чисел: $m + n$. По теореме Виета, сумма корней должна быть равна $-p = -(-(m+n)) = m+n$. Условие выполняется.

2. Произведение чисел: $m \cdot n$. По теореме Виета, произведение корней должно быть равно $q = mn$. Условие выполняется.

Поскольку оба условия обратной теоремы Виета выполнены, числа $m$ и $n$ являются корнями данного уравнения.

Ответ: Доказано, что $m$ и $n$ являются корнями уравнения $x^2 - (m + n)x + mn = 0$.

б)

Аналогично докажем, что числа $m+n$ и $m-n$ являются корнями уравнения $x^2 - 2mx + m^2 - n^2 = 0$.

В этом уравнении коэффициенты равны $p = -2m$ и $q = m^2 - n^2$.

Проверим условия обратной теоремы Виета для чисел $m+n$ и $m-n$:

1. Сумма чисел: $(m+n) + (m-n) = m+n+m-n = 2m$. По теореме Виета, сумма корней должна быть равна $-p = -(-2m) = 2m$. Условие выполняется.

2. Произведение чисел: $(m+n)(m-n) = m^2 - n^2$ (по формуле разности квадратов). По теореме Виета, произведение корней должно быть равно $q = m^2 - n^2$. Условие выполняется.

Так как оба условия выполнены, числа $m+n$ и $m-n$ являются корнями данного уравнения.

Ответ: Доказано, что $m+n$ и $m-n$ являются корнями уравнения $x^2 - 2mx + m^2 - n^2 = 0$.

Составление уравнений с конкретными числами

Выберем произвольные конкретные числа, например, $m = 5$ и $n = 2$.

Уравнение по образцу пункта а)

Подставим $m = 5$ и $n = 2$ в уравнение $x^2 - (m + n)x + mn = 0$:

$x^2 - (5 + 2)x + 5 \cdot 2 = 0$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Корнями этого уравнения являются числа $m$ и $n$.

Ответ: Уравнение: $x^2 - 7x + 10 = 0$; корни: $5$ и $2$.

Уравнение по образцу пункта б)

Подставим $m = 5$ и $n = 2$ в уравнение $x^2 - 2mx + m^2 - n^2 = 0$:

$x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + (5^2 - 2^2) = 0$

$x^2 - 10x + (25 - 4) = 0$

$x^2 - 10x + 21 = 0$

Корнями этого уравнения являются числа $m+n$ и $m-n$: $5+2=7$ и $5-2=3$.

Ответ: Уравнение: $x^2 - 10x + 21 = 0$; корни: $7$ и $3$.