Номер 427, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 427, страница 123.

Условие.

427 Подберите недостающий член квадратного трёхчлена так, чтобы его можно было представить в виде квадрата двучлена:

а) $x^2 + 8x + \dots;$

б) $x^2 - 18x + \dots;$

в) $z^2 + 3z + \dots;$

г) $a^2 + a + \dots$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы представить выражение $x^2 + 8x + ...$ в виде квадрата двучлена, необходимо дополнить его до полного квадрата. Мы будем использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2 + 8x + ...$ первый член $a^2$ соответствует $x^2$, следовательно, $a=x$.

Удвоенное произведение первого члена на второй, $2ab$, соответствует $8x$. Подставим $a=x$: $2 \cdot x \cdot b = 8x$.

Отсюда мы можем найти второй член двучлена $b$: $b = \frac{8x}{2x} = 4$.

Недостающий член квадратного трёхчлена — это квадрат второго члена двучлена, то есть $b^2$.

Вычисляем $b^2 = 4^2 = 16$.

Таким образом, исходное выражение дополняется до $x^2 + 8x + 16$, что является квадратом двучлена $(x+4)^2$.

Ответ: 16.

б) Для выражения $x^2 - 18x + ...$ мы будем использовать формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Первый член $a^2$ соответствует $x^2$, значит, $a=x$.

Удвоенное произведение $2ab$ соответствует $18x$. Подставим $a=x$: $2 \cdot x \cdot b = 18x$.

Находим второй член двучлена $b$: $b = \frac{18x}{2x} = 9$.

Недостающий член — это $b^2$.

Вычисляем $b^2 = 9^2 = 81$.

В результате получаем $x^2 - 18x + 81$, что равно $(x-9)^2$.

Ответ: 81.

в) Для выражения $z^2 + 3z + ...$ снова используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Первый член $a^2$ соответствует $z^2$, следовательно, $a=z$.

Удвоенное произведение $2ab$ соответствует $3z$. Подставим $a=z$: $2 \cdot z \cdot b = 3z$.

Находим второй член двучлена $b$: $b = \frac{3z}{2z} = \frac{3}{2}$.

Недостающий член — это $b^2$.

Вычисляем $b^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

В результате получаем $z^2 + 3z + \frac{9}{4}$, что равно $(z+\frac{3}{2})^2$.

Ответ: $\frac{9}{4}$.

г) Для выражения $a^2 + a + ...$ используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член $x^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $x=a$.

Удвоенное произведение $2xy$ соответствует $a$. Обратите внимание, что коэффициент при $a$ равен 1. Подставим $x=a$: $2 \cdot a \cdot y = a$.

Находим второй член двучлена $y$: $y = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.

Недостающий член — это $y^2$.

Вычисляем $y^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

В результате получаем $a^2 + a + \frac{1}{4}$, что равно $(a+\frac{1}{2})^2$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.