Номер 433, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 433, страница 124.

Условие.

433 Выделите в трёхчлене квадрат двучлена:

а) $x^2 - 2x + c;$

б) $x^2 + bx + c.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы выделить квадрат двучлена в трёхчлене $x^2 - 2x + c$, необходимо дополнить первые два члена до полного квадрата. Мы будем использовать формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = x^2$, следовательно, $a=x$. Член $-2x$ соответствует $-2ab$. Подставив $a=x$, получаем $-2x = -2 \cdot x \cdot b$, откуда следует, что $b=1$.

Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1 в исходном выражении, чтобы не изменить его значение:

$x^2 - 2x + c = (x^2 - 2x + 1) - 1 + c$

Теперь первые три слагаемых образуют полный квадрат $(x-1)^2$. Заменим их:

$(x - 1)^2 - 1 + c$

Перегруппируем слагаемые для большей наглядности:

$(x - 1)^2 + (c - 1)$

Ответ: $(x - 1)^2 + c - 1$

б) Для выделения квадрата двучлена в общем виде $x^2 + bx + c$ мы используем формулу квадрата суммы: $(a+k)^2 = a^2 + 2ak + k^2$.

В нашем трёхчлене $a^2$ соответствует $x^2$, значит $a=x$. Член $bx$ соответствует удвоенному произведению $2ak$. То есть, $2xk = bx$. Отсюда мы можем найти $k$: $k = \frac{bx}{2x} = \frac{b}{2}$.

Чтобы получить полный квадрат, нам необходимо добавить слагаемое $k^2 = (\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$. Мы добавим и одновременно вычтем это слагаемое, чтобы значение всего выражения не изменилось:

$x^2 + bx + c = x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + c$

Теперь сгруппируем первые три члена, которые образуют полный квадрат:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2) - \frac{b^2}{4} + c$

Заменим выражение в скобках на квадрат двучлена $(x + \frac{b}{2})^2$:

$(x + \frac{b}{2})^2 + c - \frac{b^2}{4}$

Ответ: $(x + \frac{b}{2})^2 + c - \frac{b^2}{4}$