Номер 19, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверь себя. Глава 2. Квадратные корни - номер 19, страница 119.

Условие.

19 Найдите значение выражения $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения значения выражения $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$ можно воспользоваться свойством корня из дроби. Это свойство гласит, что корень n-ой степени из дроби равен дроби, числитель которой — корень n-ой степени из числителя исходной дроби, а знаменатель — корень n-ой степени из ее знаменателя. Математически это записывается так: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (при $a \ge 0$ и $b > 0$).

Применим это свойство к заданному выражению:

$\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$

Теперь вычислим значения корней в числителе и знаменателе по отдельности.

1. Корень четвертой степени из 1. Нам нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 1. Таким числом является 1, поскольку $1^4 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

$\sqrt[4]{1} = 1$

2. Корень четвертой степени из 81. Нам нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 81. Можно заметить, что $81 = 9 \cdot 9 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) = 3^4$.

Следовательно, $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Теперь, когда мы нашли значения для числителя и знаменателя, подставим их обратно в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$