Страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Убедитесь, что уравнение имеет два корня, и найдите эти корни (436—437).

436 а) $2x^2 + 3x + 1 = 0;$

б) $3y^2 + 7y - 6 = 0;$

в) $4z^2 - 11z - 3 = 0;$

г) $3x^2 + 7x + 2 = 0;$

д) $2z^2 + 5z + 3 = 0;$

е) $2z^2 - 9z - 5 = 0;$

ж) $7y^2 + 9y + 2 = 0;$

з) $6x^2 - 13x - 5 = 0.$

а) Рассмотрим уравнение $2x^2 + 3x + 1 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=3$, $c=1$.
Чтобы определить количество корней, вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Ответ: $-1$; $-0,5$.

б) Рассмотрим уравнение $3y^2 + 7y - 6 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=7$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$.
Так как $D = 121 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$y_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.
Ответ: $-3$; $\frac{2}{3}$.

в) Рассмотрим уравнение $4z^2 - 11z - 3 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=4$, $b=-11$, $c=-3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$.
Так как $D = 169 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$z_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
$z_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$; $3$.

г) Рассмотрим уравнение $3x^2 + 7x + 2 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=7$, $c=2$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.
Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 5}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 5}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
Ответ: $-2$; $-\frac{1}{3}$.

д) Рассмотрим уравнение $2z^2 + 5z + 3 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=5$, $c=3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D = 1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$z_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
$z_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $-1,5$; $-1$.

е) Рассмотрим уравнение $2z^2 - 9z - 5 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=-9$, $c=-5$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$.
Так как $D = 121 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$z_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
$z_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$.
Ответ: $-0,5$; $5$.

ж) Рассмотрим уравнение $7y^2 + 9y + 2 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=7$, $b=9$, $c=2$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25$.
Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$y_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 + 5}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$.
$y_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 - 5}{14} = \frac{-14}{14} = -1$.
Ответ: $-1$; $-\frac{2}{7}$.

з) Рассмотрим уравнение $6x^2 - 13x - 5 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=6$, $b=-13$, $c=-5$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289$.
Так как $D = 289 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 17}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2,5$.
$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 17}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$; $2,5$.

437 a) $x^2 + 5x - 6 = 0;$

б) $x^2 + 3x + 2 = 0;$

В) $z^2 - 2z - 3 = 0;$

Г) $t^2 + t - 6 = 0;$

Д) $x^2 - 4x - 21 = 0;$

е) $x^2 + 9x + 18 = 0;$

ж) $a^2 - 7a + 6 = 0;$

З) $b^2 - 4b - 60 = 0.$

а) $x^2 + 5x - 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=5$, $c=-6$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставляем значения коэффициентов:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: $1; -6$.

б) $x^2 + 3x + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=3$, $c=2$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Дискриминант больше нуля, находим два корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-1; -2$.

в) $z^2 - 2z - 3 = 0$

Квадратное уравнение с переменной $z$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-3$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Находим корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$z_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$z_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $3; -1$.

г) $t^2 + t - 6 = 0$

Квадратное уравнение с переменной $t$. Коэффициенты: $a=1$, $b=1$, $c=-6$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Находим корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $2; -3$.

д) $x^2 - 4x - 21 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-4$, $c=-21$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Находим корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $7; -3$.

е) $x^2 + 9x + 18 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=9$, $c=18$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$

Находим корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 3}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 3}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: $-3; -6$.

ж) $a^2 - 7a + 6 = 0$

Квадратное уравнение с переменной $a$. Коэффициенты: $a_{coeff}=1$, $b_{coeff}=-7$, $c_{coeff}=6$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$

Находим корни уравнения:

$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a_{coeff}}$

$a_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$a_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $6; 1$.

з) $b^2 - 4b - 60 = 0$

Квадратное уравнение с переменной $b$. Коэффициенты: $a=1$, $b_{coeff}=-4$, $c=-60$.

Вычисляем дискриминант:

$D = b_{coeff}^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$

Находим корни уравнения:

$b_{1,2} = \frac{-b_{coeff} \pm \sqrt{D}}{2a}$

$b_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$b_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: $10; -6$.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ФОРМУЛЕ (438–441) Решите уравнение:

438 a) $2x^2 - 3x - 5 = 0;$

б) $y^2 - 4y + 5 = 0;$

в) $5z^2 - 2z - 3 = 0;$

г) $-x^2 - x + 20 = 0;$

д) $-2x^2 + 13x - 21 = 0;$

е) $y^2 + 5y - 50 = 0;$

ж) $x^2 - 18x + 81 = 0;$

з) $-7x^2 + 5x + 2 = 0.$

а) Решим уравнение $2x^2 - 3x - 5 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 2$, $b = -3$, $c = -5$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$

$x_2 = \frac{-(-3) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: $-1; 2.5$.

б) Решим уравнение $y^2 - 4y + 5 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = 5$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

в) Решим уравнение $5z^2 - 2z - 3 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$, где $a = 5$, $b = -2$, $c = -3$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_1 = \frac{-(-2) + 8}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$z_2 = \frac{-(-2) - 8}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 8}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$

Ответ: $-0.6; 1$.

г) Решим уравнение $-x^2 - x + 20 = 0$.

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным: $x^2 + x - 20 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = 1$, $c = -20$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$

Ответ: $-5; 4$.

д) Решим уравнение $-2x^2 + 13x - 21 = 0$.

Умножим обе части уравнения на $-1$: $2x^2 - 13x + 21 = 0$.

Здесь $a = 2$, $b = -13$, $c = 21$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 - 168 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-13) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 1}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$

$x_2 = \frac{-(-13) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Ответ: $3; 3.5$.

е) Решим уравнение $y^2 + 5y - 50 = 0$.

Здесь $a = 1$, $b = 5$, $c = -50$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.

Найдем корни по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-5 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$

$y_2 = \frac{-5 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$

Ответ: $-10; 5$.

ж) Решим уравнение $x^2 - 18x + 81 = 0$.

Здесь $a = 1$, $b = -18$, $c = 81$.

Можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом разности: $(x - 9)^2 = 0$. Отсюда следует, что $x - 9 = 0$, то есть $x = 9$.

Также можно решить через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 324 - 324 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Найдем его по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-(-18)}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$.

Ответ: $9$.

з) Решим уравнение $-7x^2 + 5x + 2 = 0$.

Умножим обе части уравнения на $-1$: $7x^2 - 5x - 2 = 0$.

Здесь $a = 7$, $b = -5$, $c = -2$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + 9}{2 \cdot 7} = \frac{5 + 9}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$x_2 = \frac{-(-5) - 9}{2 \cdot 7} = \frac{5 - 9}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$

Ответ: $-\frac{2}{7}; 1$.

439 a) $10x^2 + 30x + 20 = 0;$

Б) $-2x^2 - 10x - 8 = 0;$

В) $1.5y^2 + 4y + 2.5 = 0;$

Г) $-0.8z^2 + 0.4z + 2.4 = 0.$

а)

Дано квадратное уравнение $10x^2 + 30x + 20 = 0$.

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на общий множитель 10:

$\frac{10x^2}{10} + \frac{30x}{10} + \frac{20}{10} = \frac{0}{10}$

$x^2 + 3x + 2 = 0$

Теперь решим полученное приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=3$, $c=2$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-3 - 1}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -2$.

б)

Дано квадратное уравнение $-2x^2 - 10x - 8 = 0$.

Разделим обе части уравнения на -2, чтобы упростить его и сделать коэффициент при $x^2$ положительным:

$\frac{-2x^2}{-2} - \frac{10x}{-2} - \frac{8}{-2} = \frac{0}{-2}$

$x^2 + 5x + 4 = 0$

Коэффициенты полученного уравнения: $a=1$, $b=5$, $c=4$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = -4$.

в)

Дано квадратное уравнение $1.5y^2 + 4y + 2.5 = 0$.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot (1.5y^2 + 4y + 2.5) = 2 \cdot 0$

$3y^2 + 8y + 5 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=8$, $c=5$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-8 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$y_2 = \frac{-8 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Ответ: $y_1 = -1, y_2 = -\frac{5}{3}$.

г)

Дано квадратное уравнение $-0.8z^2 + 0.4z + 2.4 = 0$.

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$10 \cdot (-0.8z^2 + 0.4z + 2.4) = 10 \cdot 0$

$-8z^2 + 4z + 24 = 0$

Теперь разделим обе части на -4 для упрощения:

$\frac{-8z^2}{-4} + \frac{4z}{-4} + \frac{24}{-4} = \frac{0}{-4}$

$2z^2 - z - 6 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-1$, $c=-6$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 - (-48) = 1 + 48 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_1 = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$z_2 = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Ответ: $z_1 = 2, z_2 = -1.5$.

Совет. Упростите уравнение, разделив обе его части на одно и то же число.

440 а) $3z^2 = 198 + 15z;$

б) $11v = 3 + 10v^2;$

в) $8z^2 = 22z + 6;$

г) $0.3y^2 + 1.4 = -1.3y;$

д) $0.1 + 0.03x^2 = 0.17x;$

е) $75 - 35z = 10z^2.$

а)

Исходное уравнение: $3z^2 = 198 + 15z$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$:
$3z^2 - 15z - 198 = 0$.
Согласно совету, упростим уравнение, разделив все его члены на их наибольший общий делитель. Коэффициенты 3, -15 и -198 делятся на 3.
$\frac{3z^2}{3} - \frac{15z}{3} - \frac{198}{3} = \frac{0}{3}$
$z^2 - 5z - 66 = 0$.
Теперь решим это приведенное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a = 1$, $b = -5$, $c = -66$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66) = 25 + 264 = 289$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
Теперь найдем корни уравнения по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_1 = \frac{-(-5) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 17}{2} = \frac{22}{2} = 11$.
$z_2 = \frac{-(-5) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 17}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
Ответ: $z_1 = 11, z_2 = -6$.

б)

Исходное уравнение: $11v = 3 + 10v^2$.
Приведем уравнение к стандартному виду $av^2 + bv + c = 0$:
$10v^2 - 11v + 3 = 0$.
Коэффициенты 10, -11, 3 не имеют общего делителя, кроме 1. Решаем уравнение с помощью дискриминанта.
Здесь $a = 10$, $b = -11$, $c = 3$.
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 121 - 120 = 1$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-(-11) + 1}{2 \cdot 10} = \frac{11 + 1}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6$.
$v_2 = \frac{-(-11) - 1}{2 \cdot 10} = \frac{11 - 1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: $v_1 = 0,6; v_2 = 0,5$.

в)

Исходное уравнение: $8z^2 = 22z + 6$.
Приведем уравнение к стандартному виду:
$8z^2 - 22z - 6 = 0$.
Все коэффициенты (8, -22, -6) являются четными числами, поэтому разделим уравнение на 2 для упрощения:
$\frac{8z^2}{2} - \frac{22z}{2} - \frac{6}{2} = \frac{0}{2}$
$4z^2 - 11z - 3 = 0$.
Решаем с помощью дискриминанта. Здесь $a = 4$, $b = -11$, $c = -3$.
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$.
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
Найдем корни:
$z_1 = \frac{-(-11) + 13}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
$z_2 = \frac{-(-11) - 13}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0,25$.
Ответ: $z_1 = 3, z_2 = -0,25$.

г)

Исходное уравнение: $0,3y^2 + 1,4 = -1,3y$.
Приведем уравнение к стандартному виду:
$0,3y^2 + 1,3y + 1,4 = 0$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:
$10 \cdot (0,3y^2 + 1,3y + 1,4) = 10 \cdot 0$
$3y^2 + 13y + 14 = 0$.
Решаем с помощью дискриминанта. Здесь $a = 3$, $b = 13$, $c = 14$.
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-13 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$.
$y_2 = \frac{-13 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$.
Ответ: $y_1 = -2, y_2 = -\frac{7}{3}$.

д)

Исходное уравнение: $0,1 + 0,03x^2 = 0,17x$.
Приведем уравнение к стандартному виду:
$0,03x^2 - 0,17x + 0,1 = 0$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 100:
$100 \cdot (0,03x^2 - 0,17x + 0,1) = 100 \cdot 0$
$3x^2 - 17x + 10 = 0$.
Решаем с помощью дискриминанта. Здесь $a = 3$, $b = -17$, $c = 10$.
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169$.
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-17) + 13}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5$.
$x_2 = \frac{-(-17) - 13}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $x_1 = 5, x_2 = \frac{2}{3}$.

е)

Исходное уравнение: $75 - 35z = 10z^2$.
Приведем уравнение к стандартному виду:
$10z^2 + 35z - 75 = 0$.
Все коэффициенты (10, 35, -75) делятся на 5. Упростим уравнение, разделив его на 5:
$\frac{10z^2}{5} + \frac{35z}{5} - \frac{75}{5} = \frac{0}{5}$
$2z^2 + 7z - 15 = 0$.
Решаем с помощью дискриминанта. Здесь $a = 2$, $b = 7$, $c = -15$.
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169$.
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
Найдем корни:
$z_1 = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.
$z_2 = \frac{-7 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5$.
Ответ: $z_1 = 1,5, z_2 = -5$.

441 а) $x^2 - 2x - 1 = 0;$

б) $4x^2 - 8x - 1 = 0;$

в) $x^2 - 2x - 4 = 0;$

г) $2x^2 + 2x - 1 = 0;$

д) $x^2 - 6x + 6 = 0;$

е) $x^2 - 12x + 18 = 0.$

а) Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 1 = 0$. Это приведённое квадратное уравнение, где коэффициенты $a=1$, $b=-2$, $c=-1$. Поскольку коэффициент $b$ является чётным числом, удобнее использовать формулу для корней через четверть дискриминанта $D_1$.
Вычислим $k = \frac{b}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Найдём четверть дискриминанта по формуле $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-1)^2 - 1 \cdot (-1) = 1 + 1 = 2$.
Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{2}}{1} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Ответ: $1 \pm \sqrt{2}$.

б) Решим квадратное уравнение $4x^2 - 8x - 1 = 0$. Коэффициенты: $a=4$, $b=-8$, $c=-1$. Коэффициент $b$ чётный.
Вычислим $k = \frac{b}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Найдём четверть дискриминанта $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{4}$.
Сократим числитель и знаменатель на 2:
$x_{1,2} = \frac{2(2 \pm \sqrt{5})}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $\frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$.

в) Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 4 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-4$. Коэффициент $b$ чётный.
Вычислим $k = \frac{b}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Найдём четверть дискриминанта $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-1)^2 - 1 \cdot (-4) = 1 + 4 = 5$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{1} = 1 \pm \sqrt{5}$.
Ответ: $1 \pm \sqrt{5}$.

г) Решим квадратное уравнение $2x^2 + 2x - 1 = 0$. Коэффициенты: $a=2$, $b=2$, $c=-1$. Коэффициент $b$ чётный.
Вычислим $k = \frac{b}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Найдём четверть дискриминанта $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 1^2 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

д) Решим квадратное уравнение $x^2 - 6x + 6 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=6$. Коэффициент $b$ чётный.
Вычислим $k = \frac{b}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Найдём четверть дискриминанта $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-3)^2 - 1 \cdot 6 = 9 - 6 = 3$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{3}}{1} = 3 \pm \sqrt{3}$.
Ответ: $3 \pm \sqrt{3}$.

е) Решим квадратное уравнение $x^2 - 12x + 18 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-12$, $c=18$. Коэффициент $b$ чётный.
Вычислим $k = \frac{b}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
Найдём четверть дискриминанта $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-6)^2 - 1 \cdot 18 = 36 - 18 = 18$.
Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{18}}{1} = 6 \pm \sqrt{9 \cdot 2} = 6 \pm 3\sqrt{2}$.
Ответ: $6 \pm 3\sqrt{2}$.

РАССУЖДАЕМ (442–443)

442 Вычислите дискриминант уравнения и ответьте на следующие вопросы: 1) имеет ли уравнение корни; 2) если имеет, то сколько; 3) рациональными или иррациональными числами являются корни?

а) $4x^2 - 12x + 9 = 0$;

б) $2x^2 + 3x - 9 = 0$;

в) $5x^2 - x + 2 = 0$;

г) $x^2 + 7x - 1 = 0$;

д) $x^2 - 3x + 5 = 0$;

е) $3x^2 + 2x - 2 = 0$;

ж) $3x^2 - 11x + 10 = 0$;

з) $25x^2 + 10x + 1 = 0$.

Для анализа квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ необходимо вычислить его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Корни являются рациональными, если $D$ является полным квадратом целого числа ($D = k^2$, где $k$ - целое). В противном случае, если $D > 0$, корни иррациональны.

а) $4x^2 - 12x + 9 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=4$, $b=-12$, $c=9$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$.
1) Так как $D=0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет один корень.
3) Так как $D=0$ (полный квадрат), корень является рациональным числом.
Ответ: уравнение имеет один рациональный корень.

б) $2x^2 + 3x - 9 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=3$, $c=-9$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$.
1) Так как $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два корня.
3) Так как $D=81=9^2$ (полный квадрат), корни являются рациональными числами.
Ответ: уравнение имеет два рациональных корня.

в) $5x^2 - x + 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-1$, $c=2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 1 - 40 = -39$.
1) Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
2) и 3) Вопросы не применимы.
Ответ: уравнение не имеет корней.

г) $x^2 + 7x - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=7$, $c=-1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 49 + 4 = 53$.
1) Так как $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два корня.
3) Так как $D=53$ не является полным квадратом, корни являются иррациональными числами.
Ответ: уравнение имеет два иррациональных корня.

д) $x^2 - 3x + 5 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-3$, $c=5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
1) Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
2) и 3) Вопросы не применимы.
Ответ: уравнение не имеет корней.

е) $3x^2 + 2x - 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=2$, $c=-2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 4 + 24 = 28$.
1) Так как $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два корня.
3) Так как $D=28$ не является полным квадратом, корни являются иррациональными числами.
Ответ: уравнение имеет два иррациональных корня.

ж) $3x^2 - 11x + 10 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=-11$, $c=10$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$.
1) Так как $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два корня.
3) Так как $D=1=1^2$ (полный квадрат), корни являются рациональными числами.
Ответ: уравнение имеет два рациональных корня.

з) $25x^2 + 10x + 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=25$, $b=10$, $c=1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0$.
1) Так как $D=0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет один корень.
3) Так как $D=0$ (полный квадрат), корень является рациональным числом.
Ответ: уравнение имеет один рациональный корень.

443 Подберите какое-нибудь значение $c$, при котором уравнение имеет корни, и значение $c$, при котором оно не имеет корней:

a) $x^2 - 3x + c = 0;$

б) $5x^2 - 2x + c = 0.$

Для решения этой задачи необходимо использовать понятие дискриминанта квадратного уравнения. Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным, то есть $D \geq 0$. Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то уравнение не имеет действительных корней.

а) $x^2 - 3x + c = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=-3$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 9 - 4c$.

Чтобы уравнение имело корни, должно выполняться условие $D \geq 0$:
$9 - 4c \geq 0$
$9 \geq 4c$
$c \leq \frac{9}{4}$ или $c \leq 2.25$
Мы можем выбрать любое значение $c$, удовлетворяющее этому условию. Например, пусть $c = 2$. Тогда $D = 9 - 4(2) = 1 > 0$, и уравнение имеет два корня.

Чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться условие $D < 0$:
$9 - 4c < 0$
$9 < 4c$
$c > \frac{9}{4}$ или $c > 2.25$
Мы можем выбрать любое значение $c$, удовлетворяющее этому условию. Например, пусть $c = 3$. Тогда $D = 9 - 4(3) = -3 < 0$, и уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение имеет корни, например, при $c=2$; уравнение не имеет корней, например, при $c=3$.

б) $5x^2 - 2x + c = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a=5$, $b=-2$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot c = 4 - 20c$.

Чтобы уравнение имело корни, должно выполняться условие $D \geq 0$:
$4 - 20c \geq 0$
$4 \geq 20c$
$c \leq \frac{4}{20}$ или $c \leq 0.2$
Мы можем выбрать любое значение $c$, удовлетворяющее этому условию. Например, пусть $c = 0$. Тогда $D = 4 - 20(0) = 4 > 0$, и уравнение имеет два корня.

Чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться условие $D < 0$:
$4 - 20c < 0$
$4 < 20c$
$c > \frac{4}{20}$ или $c > 0.2$
Мы можем выбрать любое значение $c$, удовлетворяющее этому условию. Например, пусть $c = 1$. Тогда $D = 4 - 20(1) = -16 < 0$, и уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение имеет корни, например, при $c=0$; уравнение не имеет корней, например, при $c=1$.