Номер 442, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 442, страница 129.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (442–443)

442 Вычислите дискриминант уравнения и ответьте на следующие вопросы: 1) имеет ли уравнение корни; 2) если имеет, то сколько; 3) рациональными или иррациональными числами являются корни?

а) $4x^2 - 12x + 9 = 0$;

б) $2x^2 + 3x - 9 = 0$;

в) $5x^2 - x + 2 = 0$;

г) $x^2 + 7x - 1 = 0$;

д) $x^2 - 3x + 5 = 0$;

е) $3x^2 + 2x - 2 = 0$;

ж) $3x^2 - 11x + 10 = 0$;

з) $25x^2 + 10x + 1 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для анализа квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ необходимо вычислить его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Корни являются рациональными, если $D$ является полным квадратом целого числа ($D = k^2$, где $k$ - целое). В противном случае, если $D > 0$, корни иррациональны.

а) $4x^2 - 12x + 9 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=4$, $b=-12$, $c=9$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$.
1) Так как $D=0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет один корень.
3) Так как $D=0$ (полный квадрат), корень является рациональным числом.
Ответ: уравнение имеет один рациональный корень.

б) $2x^2 + 3x - 9 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=3$, $c=-9$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$.
1) Так как $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два корня.
3) Так как $D=81=9^2$ (полный квадрат), корни являются рациональными числами.
Ответ: уравнение имеет два рациональных корня.

в) $5x^2 - x + 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-1$, $c=2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 1 - 40 = -39$.
1) Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
2) и 3) Вопросы не применимы.
Ответ: уравнение не имеет корней.

г) $x^2 + 7x - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=7$, $c=-1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 49 + 4 = 53$.
1) Так как $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два корня.
3) Так как $D=53$ не является полным квадратом, корни являются иррациональными числами.
Ответ: уравнение имеет два иррациональных корня.

д) $x^2 - 3x + 5 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-3$, $c=5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
1) Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
2) и 3) Вопросы не применимы.
Ответ: уравнение не имеет корней.

е) $3x^2 + 2x - 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=2$, $c=-2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 4 + 24 = 28$.
1) Так как $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два корня.
3) Так как $D=28$ не является полным квадратом, корни являются иррациональными числами.
Ответ: уравнение имеет два иррациональных корня.

ж) $3x^2 - 11x + 10 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=-11$, $c=10$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$.
1) Так как $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два корня.
3) Так как $D=1=1^2$ (полный квадрат), корни являются рациональными числами.
Ответ: уравнение имеет два рациональных корня.

з) $25x^2 + 10x + 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=25$, $b=10$, $c=1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0$.
1) Так как $D=0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет один корень.
3) Так как $D=0$ (полный квадрат), корень является рациональным числом.
Ответ: уравнение имеет один рациональный корень.