Номер 444, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 444, страница 130.

Условие.

444 Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения с двумя знаками после запятой (воспользуйтесь калькулятором):

а) $x^2 - 6x = 1;$
б) $3x^2 = 7x + 3;$
в) $x^2 + 11x = x - 2;$
г) $5x - 2 = 3x^2;$
д) $2x^2 + 4x + 1 = 0;$
е) $4 - 4x = x^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^2 - 6x = 1$

Сначала приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 - 6x - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -6$, $c = -1$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 10}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}$

Теперь найдем приближенные значения корней и округлим их до двух знаков после запятой:

$x_1 = 3 + \sqrt{10} \approx 3 + 3.1622... \approx 6.16$

$x_2 = 3 - \sqrt{10} \approx 3 - 3.1622... \approx -0.16$

Ответ: $x_1 \approx 6.16$, $x_2 \approx -0.16$.

б) $3x^2 = 7x + 3$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 7x - 3 = 0$

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -7$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 49 + 36 = 85$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{85}}{6}$.

Найдем приближенные значения корней:

$x_1 = \frac{7 + \sqrt{85}}{6} \approx \frac{7 + 9.2195...}{6} \approx \frac{16.2195...}{6} \approx 2.70$

$x_2 = \frac{7 - \sqrt{85}}{6} \approx \frac{7 - 9.2195...}{6} \approx \frac{-2.2195...}{6} \approx -0.37$

Ответ: $x_1 \approx 2.70$, $x_2 \approx -0.37$.

в) $x^2 + 11x = x - 2$

Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 + 11x - x + 2 = 0$

$x^2 + 10x + 2 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 10$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 100 - 8 = 92$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{92}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm \sqrt{4 \cdot 23}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{23}}{2} = -5 \pm \sqrt{23}$.

Найдем приближенные значения корней:

$x_1 = -5 + \sqrt{23} \approx -5 + 4.7958... \approx -0.2041... \approx -0.20$

$x_2 = -5 - \sqrt{23} \approx -5 - 4.7958... \approx -9.7958... \approx -9.80$

Ответ: $x_1 \approx -0.20$, $x_2 \approx -9.80$.

г) $5x - 2 = 3x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$3x^2 - 5x + 2 = 0$

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.

$x_1 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Найдем приближенные значения корней:

$x_1 = 1.00$

$x_2 = \frac{2}{3} \approx 0.6666... \approx 0.67$

Ответ: $x_1 = 1.00$, $x_2 \approx 0.67$.

д) $2x^2 + 4x + 1 = 0$

Уравнение уже представлено в стандартном виде. Коэффициенты: $a = 2$, $b = 4$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$.

Найдем приближенные значения корней:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{2}}{2} \approx \frac{-2 + 1.4142...}{2} \approx \frac{-0.5857...}{2} \approx -0.29$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{2}}{2} \approx \frac{-2 - 1.4142...}{2} \approx \frac{-3.4142...}{2} \approx -1.71$

Ответ: $x_1 \approx -0.29$, $x_2 \approx -1.71$.

е) $4 - 4x = x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 4x - 4 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 4$, $c = -4$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 2}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$.

Найдем приближенные значения корней:

$x_1 = -2 + 2\sqrt{2} \approx -2 + 2 \cdot 1.4142... = -2 + 2.8284... \approx 0.83$

$x_2 = -2 - 2\sqrt{2} \approx -2 - 2 \cdot 1.4142... = -2 - 2.8284... \approx -4.83$

Ответ: $x_1 \approx 0.83$, $x_2 \approx -4.83$.