Номер 2, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 131.

Условие.

Решите уравнение $3x^2 + 4x - 4 = 0$, используя сначала формулу корней квадратного уравнения с чётным коэффициентом, а потом общую формулу.

Решение 3.

Решение 4.

Решение по формуле для чётного второго коэффициента

Дано квадратное уравнение $3x^2 + 4x - 4 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 4$, $c = -4$.
Так как второй коэффициент $b = 4$ является чётным числом, мы можем использовать формулу для корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом. Для этого введем коэффициент $k$, равный половине второго коэффициента:
$k = \frac{b}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Формула для корней в этом случае выглядит так: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$.
Сначала вычислим дискриминант, делённый на 4 (обозначается $D_1$ или $D/4$):
$D_1 = k^2 - ac = 2^2 - 3 \cdot (-4) = 4 - (-12) = 4 + 12 = 16$.
Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Теперь подставим найденные значения в формулу для корней:
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{3} = \frac{-2 \pm 4}{3}$.
Находим каждый корень отдельно:
$x_1 = \frac{-2 + 4}{3} = \frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{-2 - 4}{3} = \frac{-6}{3} = -2$.
Ответ: $-2; \frac{2}{3}$.

Решение по общей формуле

Теперь решим то же уравнение $3x^2 + 4x - 4 = 0$ по общей формуле корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$.
Коэффициенты: $a = 3$, $b = 4$, $c = -4$.
Общая формула для корней: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Сначала вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 - (-48) = 16 + 48 = 64$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Теперь подставим значения в общую формулу для корней:
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 8}{6}$.
Находим каждый корень отдельно:
$x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
Как и ожидалось, результаты, полученные двумя способами, совпали.
Ответ: $-2; \frac{2}{3}$.