Номер 454, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 454, страница 132.

Условие.

454 a) $(x - 5)(x + 2) = x(5 - x);$

б) $(y + 2)^2 = y(3y + 2);$

В) $3(z - 2)^2 = 2z + 4;$

Г) $5 - 4x = 4(x - 1)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x - 5)(x + 2) = x(5 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 2x - 5x - 10 = 5x - x^2$

$x^2 - 3x - 10 = 5x - x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 3x - 10 - 5x + x^2 = 0$

$2x^2 - 8x - 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.

б) $(y + 2)^2 = y(3y + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$y^2 + 4y + 4 = 3y^2 + 2y$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$0 = 3y^2 + 2y - (y^2 + 4y + 4)$

$0 = 3y^2 + 2y - y^2 - 4y - 4$

$2y^2 - 2y - 4 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$y^2 - y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $y_1 = 2$, $y_2 = -1$.

в) $3(z - 2)^2 = 2z + 4$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$3(z^2 - 4z + 4) = 2z + 4$

$3z^2 - 12z + 12 = 2z + 4$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$3z^2 - 12z + 12 - 2z - 4 = 0$

$3z^2 - 14z + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100$

Найдем корни уравнения:

$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 10}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 10}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $z_1 = 4$, $z_2 = \frac{2}{3}$.

г) $5 - 4x = 4(x - 1)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$5 - 4x = 4(x^2 - 2x + 1)$

$5 - 4x = 4x^2 - 8x + 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 4x^2 - 8x + 4 - (5 - 4x)$

$0 = 4x^2 - 8x + 4 - 5 + 4x$

$4x^2 - 4x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 4\sqrt{2}}{8} = \frac{4(1 + \sqrt{2})}{8} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 4\sqrt{2}}{8} = \frac{4(1 - \sqrt{2})}{8} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$.