Номер 456, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 456, страница 132.

Условие.

456 a) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 5 = 0$;
Б) $x^2 + 2\sqrt{7}x + 7 = 0$;
В) $x^2 + 2\sqrt{6}x - 18 = 0$;
Г) $x^2 - 2\sqrt{2}x - 6 = 0$.

Указание. Воспользуйтесь формулой корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для уравнения $x^2 - 2\sqrt{5}x + 5 = 0$ коэффициенты: $a=1$, $b=-2\sqrt{5}$, $c=5$.
Второй коэффициент $b$ является чётным, так как $b=2k$, где $k = -\sqrt{5}$.
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом: $x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$.
Вычислим дискриминант, деленный на четыре ($D_1$):
$D_1 = k^2 - ac = (-\sqrt{5})^2 - 1 \cdot 5 = 5 - 5 = 0$.
Поскольку $D_1 = 0$, уравнение имеет один корень:
$x = \frac{-k}{a} = \frac{-(-\sqrt{5})}{1} = \sqrt{5}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $x^2 - 2x\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (x - \sqrt{5})^2$. Уравнение $(x - \sqrt{5})^2 = 0$ имеет один корень $x = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$.

б) Для уравнения $x^2 + 2\sqrt{7}x + 7 = 0$ коэффициенты: $a=1$, $b=2\sqrt{7}$, $c=7$.
Второй коэффициент $b$ является чётным, $k = \frac{b}{2} = \sqrt{7}$.
Вычислим $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (\sqrt{7})^2 - 1 \cdot 7 = 7 - 7 = 0$.
Поскольку $D_1 = 0$, уравнение имеет один корень:
$x = \frac{-k}{a} = \frac{-\sqrt{7}}{1} = -\sqrt{7}$.
Аналогично предыдущему пункту, левая часть — это полный квадрат: $(x + \sqrt{7})^2 = 0$, откуда $x = -\sqrt{7}$.
Ответ: $-\sqrt{7}$.

в) Для уравнения $x^2 + 2\sqrt{6}x - 18 = 0$ коэффициенты: $a=1$, $b=2\sqrt{6}$, $c=-18$.
Второй коэффициент $b$ является чётным, $k = \frac{b}{2} = \sqrt{6}$.
Вычислим $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (\sqrt{6})^2 - 1 \cdot (-18) = 6 + 18 = 24$.
Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_{1,2} = \frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{24}}{1} = -\sqrt{6} \pm \sqrt{4 \cdot 6} = -\sqrt{6} \pm 2\sqrt{6}$.
$x_1 = -\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$.
$x_2 = -\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = -3\sqrt{6}$.
Ответ: $-3\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

г) Для уравнения $x^2 - 2\sqrt{2}x - 6 = 0$ коэффициенты: $a=1$, $b=-2\sqrt{2}$, $c=-6$.
Второй коэффициент $b$ является чётным, $k = \frac{b}{2} = -\sqrt{2}$.
Вычислим $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-\sqrt{2})^2 - 1 \cdot (-6) = 2 + 6 = 8$.
Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-\sqrt{2}) \pm \sqrt{8}}{1} = \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{2} \pm 2\sqrt{2}$.
$x_1 = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
$x_2 = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}; 3\sqrt{2}$.