Номер 462, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 462, страница 133.

Условие.

462 ВЫВОДИМ НОВУЮ ФОРМУЛУ

Корни приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ можно найти по формуле

$x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$. Выведите эту формулу.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Выводим новую формулу

Для того чтобы вывести формулу корней приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Этот метод позволяет преобразовать левую часть уравнения в квадрат двучлена.

1. Запишем исходное уравнение:

$x^2 + px + q = 0$

2. Перенесём свободный член $q$ в правую часть уравнения:

$x^2 + px = -q$

3. Чтобы выражение в левой части стало полным квадратом, необходимо добавить к нему слагаемое, равное квадрату половины коэффициента при $x$. Коэффициент при $x$ равен $p$, его половина — $\frac{p}{2}$, а квадрат половины — $(\frac{p}{2})^2$. Чтобы не нарушить равенство, добавим это слагаемое к обеим частям уравнения:

$x^2 + px + (\frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2 - q$

4. Теперь левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы $(x + \frac{p}{2})^2$. Свернём её:

$(x + \frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2 - q$

5. Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что при извлечении корня из правой части нужно учесть два возможных знака, что обозначается символом $\pm$:

$x + \frac{p}{2} = \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

6. На последнем шаге выразим $x$, перенеся $\frac{p}{2}$ в правую часть уравнения:

$x = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

Таким образом, требуемая формула успешно выведена.

Ответ: Формула для корней приведённого квадратного уравнения $x = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ выводится из уравнения $x^2 + px + q = 0$ методом выделения полного квадрата. Этот процесс включает перенос свободного члена $q$ вправо, добавление к обеим частям $(\frac{p}{2})^2$ для получения полного квадрата $(x + \frac{p}{2})^2$ в левой части, и последующее извлечение квадратного корня для нахождения $x$.