Номер 2, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 136.

Условие.

Прочитайте задачу: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 29 см, а один его катет больше другого на 1 см. Найдите катеты треугольника».

Решите задачу по плану:

1) Введите неизвестное и составьте уравнение, используя теорему Пифагора.

2) Упростите составленное уравнение и решите его.

3) Исследуйте полученные решения, сделайте вывод и запишите ответ.

Решение 3.

Решение 4.

1) Введите неизвестное и составьте уравнение, используя теорему Пифагора.

Пусть длина меньшего катета прямоугольного треугольника равна $x$ см. По условию, другой катет на 1 см больше, следовательно, его длина равна $(x+1)$ см. Длина гипотенузы составляет 29 см.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставив известные значения, получим уравнение:

$x^2 + (x+1)^2 = 29^2$

Ответ: $x^2 + (x+1)^2 = 29^2$.

2) Упростите составленное уравнение и решите его.

Раскроем скобки в левой части уравнения и возведем в квадрат число в правой части:

$x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 841$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 + 2x + 1 - 841 = 0$

$2x^2 + 2x - 840 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + x - 420 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{1681}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{1681}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 41}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Ответ: Корни уравнения: 20 и -21.

3) Исследуйте полученные решения, сделайте вывод и запишите ответ.

Мы получили два решения для $x$: 20 и -21. Переменная $x$ обозначает длину катета треугольника, а длина не может быть отрицательной величиной. Поэтому корень $x_2 = -21$ не соответствует условию задачи.

Единственным подходящим решением является $x_1 = 20$. Следовательно, длина меньшего катета равна 20 см.

Тогда длина большего катета равна $x + 1 = 20 + 1 = 21$ см.

Выполним проверку: $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$. Гипотенуза в квадрате: $29^2 = 841$. Равенство $841 = 841$ выполняется, значит, катеты найдены верно.

Ответ: Катеты треугольника равны 20 см и 21 см.