Номер 465, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 465, страница 137.

Условие.

465 a) Найдите два последовательных целых числа, произведение которых равно 210.

б) Найдите два последовательных натуральных нечётных числа, произведение которых равно 323.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть первое искомое целое число равно $n$. Поскольку числа последовательные, второе число будет равно $n + 1$.
По условию задачи, их произведение равно 210. Составим и решим уравнение:
$n(n + 1) = 210$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:
$n^2 + n = 210$
$n^2 + n - 210 = 0$
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант.
Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 1$, $c = -210$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$
Теперь найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$
$n_1 = \frac{-1 + 29}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$n_2 = \frac{-1 - 29}{2} = \frac{-30}{2} = -15$
Мы получили два возможных значения для первого числа. Для каждого из них найдем второе число и проверим решение:
1) Если первое число равно 14, то второе равно $14 + 1 = 15$. Их произведение: $14 \cdot 15 = 210$. Это решение подходит.
2) Если первое число равно -15, то второе равно $-15 + 1 = -14$. Их произведение: $(-15) \cdot (-14) = 210$. Это решение также подходит, так как в условии говорится о целых числах (которые могут быть отрицательными).
Следовательно, задача имеет два решения.
Ответ: 14 и 15 или -15 и -14.

б)

Пусть первое искомое натуральное нечётное число равно $x$. Так как числа являются последовательными нечётными, то второе число будет на 2 больше первого, то есть $x + 2$.
По условию задачи, их произведение равно 323. Составим и решим уравнение:
$x(x + 2) = 323$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 + 2x = 323$
$x^2 + 2x - 323 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a = 1$, $b = 2$, $c = -323$.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-323) = 4 + 1292 = 1296$
Теперь найдем корни уравнения:
$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$
$x_1 = \frac{-2 + 36}{2} = \frac{34}{2} = 17$
$x_2 = \frac{-2 - 36}{2} = \frac{-38}{2} = -19$
Согласно условию, мы ищем натуральные числа, то есть положительные целые. Корень $x_2 = -19$ не является натуральным числом, поэтому мы его отбрасываем.
Единственный подходящий корень — $x_1 = 17$. Это нечётное натуральное число.
Первое число равно 17.
Второе число равно $x + 2 = 17 + 2 = 19$.
Проверим произведение: $17 \cdot 19 = 323$. Условие выполнено.
Ответ: 17 и 19.