Номер 468, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 468, страница 137.

Условие.

Сделайте по условию задачи схематический рисунок и решите задачу (468–472).

468 Садовый участок прямоугольной формы площадью $600 \text{ м}^2$ обнесён забором, длина которого $100 \text{ м}$. Чему равны стороны участка? Чему равны стороны участка такой же площади, если длина забора вокруг него составляет $140 \text{ м}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Схематический рисунок представляет собой прямоугольник. Обозначим его стороны как $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Длина забора — это периметр прямоугольника ($P$), который вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

Чему равны стороны участка?

По условию дано:
Площадь $S = 600 \, \text{м}^2$.
Периметр $P = 100 \, \text{м}$.

Составим систему уравнений:
$a \cdot b = 600$
$2(a+b) = 100$

Из второго уравнения выразим сумму сторон:
$a+b = \frac{100}{2}$
$a+b = 50$

Мы получили систему:
$a+b=50$
$a \cdot b = 600$

Эту систему можно решить, используя теорему Виета для квадратного уравнения $t^2 - 50t + 600 = 0$, где $t_1$ и $t_2$ будут соответствовать сторонам $a$ и $b$.

Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-50) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$t_2 = \frac{-(-50) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Следовательно, стороны прямоугольного участка равны 20 м и 30 м.

Ответ: Стороны участка равны 20 м и 30 м.

Чему равны стороны участка такой же площади, если длина забора вокруг него составляет 140 м?

По условию дано:
Площадь $S = 600 \, \text{м}^2$.
Периметр $P = 140 \, \text{м}$.

Аналогично первому случаю, составляем систему уравнений:
$a \cdot b = 600$
$2(a+b) = 140$

Из второго уравнения:
$a+b = \frac{140}{2}$
$a+b = 70$

Решаем задачу с помощью квадратного уравнения $t^2 - 70t + 600 = 0$.

Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-70)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 4900 - 2400 = 2500$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-70) + \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{70 + 50}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$t_2 = \frac{-(-70) - \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{70 - 50}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Следовательно, в этом случае стороны участка равны 10 м и 60 м.

Ответ: Стороны участка равны 10 м и 60 м.