Номер 475, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 475, страница 138.

Условие.

475 Если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v$ м/с, то высота, на которой оно окажется через $t$ с, может быть приближённо найдена по формуле $h = vt - 5t^2$. Используя эту формулу, решите задачу:

а) Футболист на тренировке подбрасывает ногой мяч вертикально вверх. Если он подбросил мяч, сообщив ему начальную скорость 15 м/с, то через сколько секунд мяч окажется в 10 м над землёй?

б) Футболист, подбрасывая мяч ногой, сообщил ему начальную скорость 20 м/с. Взлетит ли мяч выше берёзы, высота которой 15 м? Взлетит ли он выше дома, высота которого 22 м?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для решения задачи используем заданную формулу высоты: $h = vt - 5t^2$.

По условию, начальная скорость мяча $v = 15$ м/с, а высота, на которой он должен оказаться, $h = 10$ м. Подставим эти значения в формулу:

$10 = 15t - 5t^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5t^2 - 15t + 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Таким образом, мяч окажется на высоте 10 метров дважды: через 1 секунду после броска (при движении вверх) и через 2 секунды после броска (при движении вниз).

Ответ: мяч окажется на высоте 10 м через 1 секунду и через 2 секунды.

б) В этом случае начальная скорость мяча $v = 20$ м/с. Формула для высоты полета мяча в зависимости от времени $t$ имеет вид:

$h(t) = 20t - 5t^2$

Чтобы определить, взлетит ли мяч выше березы (15 м) и дома (22 м), нужно найти максимальную высоту, на которую он поднимется. Функция $h(t) = -5t^2 + 20t$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение функции достигается в вершине параболы.

Найдем время $t_0$, в которое достигается максимальная высота, по формуле для абсциссы вершины параболы $t_0 = -\frac{b}{2a}$:

$t_0 = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$ с.

Теперь найдем максимальную высоту $h_{max}$, подставив $t_0 = 2$ в формулу для высоты:

$h_{max} = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 5 \cdot 4 = 40 - 20 = 20$ м.

Сравним максимальную высоту полета мяча с высотой березы и дома:

1. Высота березы 15 м. Так как $20 \text{ м} > 15 \text{ м}$, мяч взлетит выше березы.

2. Высота дома 22 м. Так как $20 \text{ м} < 22 \text{ м}$, мяч не взлетит выше дома.

Ответ: мяч взлетит выше берёзы, но не взлетит выше дома.