Номер 481, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 3. Квадратные уравнения. 3.4. Решение задач. Упражнения - номер 481, страница 139.

Условие.

481 Существует ли прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются последовательными чётными числами? последовательными нечётными числами?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

последовательными чётными числами

Пусть стороны прямоугольного треугольника — это три последовательных чётных числа. Мы можем обозначить их как $2n-2$, $2n$ и $2n+2$, где $n$ — натуральное число, $n > 1$ (чтобы длины сторон были положительными). Гипотенуза является самой длинной стороной, поэтому она равна $2n+2$, а катеты — $2n-2$ и $2n$.

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$ (2n-2)^2 + (2n)^2 = (2n+2)^2 $

Раскроем скобки и решим уравнение:

$ (4n^2 - 8n + 4) + 4n^2 = 4n^2 + 8n + 4 $

Упростим выражение, собрав все члены в левой части:

$ 8n^2 - 4n^2 - 8n - 8n + 4 - 4 = 0 $

$ 4n^2 - 16n = 0 $

Вынесем общий множитель $4n$ за скобки:

$ 4n(n - 4) = 0 $

Это уравнение имеет два корня: $n = 0$ и $n = 4$.

Корень $n=0$ не подходит, так как в этом случае одна из сторон будет отрицательной ($2 \cdot 0 - 2 = -2$), а другая — нулевой ($2 \cdot 0 = 0$), что невозможно для сторон треугольника.

При $n=4$ мы получаем следующие длины сторон:

• Катет 1: $2 \cdot 4 - 2 = 6$
• Катет 2: $2 \cdot 4 = 8$
• Гипотенуза: $2 \cdot 4 + 2 = 10$

Мы получили стороны 6, 8, 10. Проверим, удовлетворяют ли они теореме Пифагора:

$ 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $

$ 10^2 = 100 $

Равенство $100 = 100$ верно, следовательно, такой треугольник существует.

Ответ: Да, существует. Стороны такого треугольника равны 6, 8 и 10.

последовательными нечётными числами

Пусть стороны прямоугольного треугольника $a, b, c$ являются тремя последовательными нечётными числами. Гипотенуза $c$ будет наибольшим из этих чисел, а катеты — $a$ и $b$.

Согласно теореме Пифагора, должно выполняться равенство:

$ a^2 + b^2 = c^2 $

Проанализируем чётность чисел в этом равенстве.

Квадрат любого нечётного числа всегда является нечётным числом. Это можно показать так: $(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, что по определению является нечётным числом.

Поскольку $a$, $b$ и $c$ — нечётные числа, то их квадраты $a^2$, $b^2$ и $c^2$ также являются нечётными числами.

Рассмотрим левую часть уравнения, $a^2 + b^2$. Это сумма двух нечётных чисел. Сумма двух нечётных чисел всегда даёт чётное число (например, $(2k+1) + (2m+1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1)$, что является чётным числом).

Таким образом, мы получаем противоречие в уравнении Пифагора:

$ \underbrace{a^2}_{\text{нечётное}} + \underbrace{b^2}_{\text{нечётное}} = \underbrace{c^2}_{\text{нечётное}} $

В результате получаем:

$ \text{чётное} = \text{нечётное} $

Такое равенство невозможно. Следовательно, не существует прямоугольного треугольника, стороны которого выражаются последовательными нечётными числами.

Ответ: Нет, не существует.