Номер 479, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 479, страница 139.

Условие.

479 В парке имеется детский бассейн прямоугольной формы со сторонами 6 м и 9 м. Он окружён прогулочной дорожкой, ширина которой везде одинакова. Площадь дорожки равна площади бассейна. Найдите ширину дорожки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть ширина прогулочной дорожки равна $x$ метров. Так как дорожка окружает бассейн со всех сторон, то ее ширина добавляется с каждой стороны.

Размеры бассейна 6 м и 9 м. Его площадь $S_{бассейна}$ равна:

$S_{бассейна} = 6 \cdot 9 = 54$ м²

По условию задачи, площадь дорожки $S_{дорожки}$ равна площади бассейна:

$S_{дорожки} = 54$ м²

Бассейн вместе с дорожкой образуют больший прямоугольник. Его стороны будут равны:

Длина: $9 + x + x = 9 + 2x$ м

Ширина: $6 + x + x = 6 + 2x$ м

Общая площадь $S_{общая}$, которую занимают бассейн и дорожка вместе, равна произведению этих сторон:

$S_{общая} = (9 + 2x)(6 + 2x)$

Также общая площадь равна сумме площади бассейна и площади дорожки:

$S_{общая} = S_{бассейна} + S_{дорожки} = 54 + 54 = 108$ м²

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей площади:

$(9 + 2x)(6 + 2x) = 108$

Раскроем скобки:

$54 + 18x + 12x + 4x^2 = 108$

Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 + 30x + 54 - 108 = 0$

$4x^2 + 30x - 54 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$2x^2 + 15x - 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 225 + 216 = 441$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 \pm 21}{4}$

$x_1 = \frac{-15 + 21}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

$x_2 = \frac{-15 - 21}{4} = \frac{-36}{4} = -9$

Поскольку ширина дорожки $x$ не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -9$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, ширина дорожки составляет 1,5 метра.

Ответ: 1,5 м.