Номер 472, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 472, страница 138.

Условие.

472 Число диагоналей выпуклого $n$-угольника равно $\frac{n(n-3)}{2}$. Существует ли многоугольник, в котором 77 диагоналей? 25 диагоналей? Если существует, то укажите число его сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения числа диагоналей $D$ выпуклого $n$-угольника: $D = \frac{n(n-3)}{2}$. Чтобы многоугольник существовал, число его сторон $n$ должно быть целым числом, большим или равным 3 ($n \in \mathbb{N}, n \ge 3$). Проверим оба случая, подставляя заданное число диагоналей в формулу.

Существует ли многоугольник, в котором 77 диагоналей?

Приравняем число диагоналей к 77 и решим уравнение относительно $n$:

$\frac{n(n-3)}{2} = 77$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$n(n-3) = 154$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$n^2 - 3n - 154 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D_{ур}$:

$D_{ур} = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-154) = 9 + 616 = 625$

Поскольку дискриминант положителен ($D_{ур} > 0$), уравнение имеет два корня. Найдём их:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{D_{ур}}}{2a}$

$n_1 = \frac{3 + \sqrt{625}}{2} = \frac{3 + 25}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$n_2 = \frac{3 - \sqrt{625}}{2} = \frac{3 - 25}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Число сторон многоугольника $n$ должно быть целым положительным числом не менее 3. Корень $n_2 = -11$ не удовлетворяет этому условию. Корень $n_1 = 14$ является натуральным числом, большим 3. Следовательно, многоугольник с 77 диагоналями существует.

Ответ: да, существует; это многоугольник с 14 сторонами.

Существует ли многоугольник, в котором 25 диагоналей?

Аналогично первому случаю, приравняем число диагоналей к 25:

$\frac{n(n-3)}{2} = 25$

Умножим обе части на 2:

$n(n-3) = 50$

Приведём уравнение к квадратному виду:

$n^2 - 3n - 50 = 0$

Вычислим дискриминант:

$D_{ур} = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 9 + 200 = 209$

Корень из дискриминанта $\sqrt{209}$ не является целым числом (так как $14^2 = 196$, а $15^2 = 225$). Это означает, что корни уравнения $n = \frac{3 \pm \sqrt{209}}{2}$ не будут целыми числами.

Поскольку число сторон многоугольника $n$ по определению должно быть целым числом, многоугольник с 25 диагоналями не может существовать.

Ответ: нет, не существует.