Номер 466, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 466, страница 137.

Условие.

466 a) Сумма квадратов двух последовательных отрицательных целых чисел равна 85. Найдите эти числа.

б) Сумма квадратов двух последовательных натуральных нечётных чисел равна 130. Найдите эти числа.

в) Сумма квадратов двух последовательных целых чисел равна 41. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть первое отрицательное целое число равно $x$, тогда следующее за ним последовательное целое число равно $x+1$. По условию, оба числа являются отрицательными целыми, то есть $x < 0$ и $x$ — целое число.

Сумма их квадратов по условию равна 85. Составим и решим уравнение:

$x^2 + (x+1)^2 = 85$
$x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 85$
$2x^2 + 2x + 1 - 85 = 0$
$2x^2 + 2x - 84 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + x - 42 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Согласно условию, искомые числа — отрицательные. Поэтому корень $x_2 = 6$ не является решением задачи. Подходит только корень $x_1 = -7$.

Таким образом, первое число равно -7. Тогда второе число равно $x+1 = -7+1 = -6$.

Проверка: $(-7)^2 + (-6)^2 = 49 + 36 = 85$. Равенство верно.

Ответ: -7 и -6.

б)

Пусть первое натуральное нечётное число равно $x$, тогда следующее за ним последовательное нечётное число будет $x+2$. По условию, числа являются натуральными, значит $x > 0$.

Сумма их квадратов по условию равна 130. Составим и решим уравнение:

$x^2 + (x+2)^2 = 130$
$x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 130$
$2x^2 + 4x + 4 - 130 = 0$
$2x^2 + 4x - 126 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 2x - 63 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256 = 16^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 16}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 16}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Согласно условию, искомые числа — натуральные (положительные). Поэтому корень $x_1 = -9$ не является решением. Подходит корень $x_2 = 7$, который является натуральным и нечётным числом.

Таким образом, первое число равно 7. Тогда второе число равно $x+2 = 7+2 = 9$.

Проверка: $7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130$. Равенство верно.

Ответ: 7 и 9.

в)

Пусть первое целое число равно $n$, тогда следующее за ним последовательное целое число равно $n+1$.

Сумма их квадратов по условию равна 41. Составим и решим уравнение:

$n^2 + (n+1)^2 = 41$
$n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 41$
$2n^2 + 2n + 1 - 41 = 0$
$2n^2 + 2n - 40 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:

$n^2 + n - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Оба корня являются целыми числами, поэтому условию задачи удовлетворяют две пары чисел.

1. Если первое число $n = 4$, то второе число равно $n+1 = 4+1 = 5$.
Проверка: $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.

2. Если первое число $n = -5$, то второе число равно $n+1 = -5+1 = -4$.
Проверка: $(-5)^2 + (-4)^2 = 25 + 16 = 41$.

Обе пары чисел являются решением.

Ответ: 4 и 5 или -5 и -4.