Номер 461, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 461, страница 133.

Условие.

461 Найдите корни уравнения и покажите их примерное расположение на координатной прямой:

а) $(x^2 - 2x + 1)^2 - 11(x^2 - 2x + 1) + 30 = 0;$

б) $(x^2 + 4x)^2 - 4(x^2 + 4x) - 5 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x^2 - 2x + 1)^2 - 11(x^2 - 2x + 1) + 30 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x^2 - 2x + 1)$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 2x + 1$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 11y + 30 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни, используя теорему Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 30. Легко подобрать корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = 6$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. Если $y = 5$, то:

$x^2 - 2x + 1 = 5$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - 1)^2 = 5$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x - 1 = \sqrt{5}$ или $x - 1 = -\sqrt{5}$

Отсюда находим два корня:

$x_1 = 1 + \sqrt{5}$

$x_2 = 1 - \sqrt{5}$

2. Если $y = 6$, то:

$x^2 - 2x + 1 = 6$

$(x - 1)^2 = 6$

$x - 1 = \sqrt{6}$ или $x - 1 = -\sqrt{6}$

Отсюда находим еще два корня:

$x_3 = 1 + \sqrt{6}$

$x_4 = 1 - \sqrt{6}$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня: $1 + \sqrt{5}$, $1 - \sqrt{5}$, $1 + \sqrt{6}$, $1 - \sqrt{6}$.

Для расположения на координатной прямой найдем их примерные значения, зная, что $\sqrt{5} \approx 2.24$ и $\sqrt{6} \approx 2.45$.

$x_1 = 1 + \sqrt{5} \approx 1 + 2.24 = 3.24$

$x_2 = 1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.24 = -1.24$

$x_3 = 1 + \sqrt{6} \approx 1 + 2.45 = 3.45$

$x_4 = 1 - \sqrt{6} \approx 1 - 2.45 = -1.45$

Расположим корни на координатной прямой в порядке возрастания: $1 - \sqrt{6}$, $1 - \sqrt{5}$, $1 + \sqrt{5}$, $1 + \sqrt{6}$.

Ответ: $1 \pm \sqrt{5}$; $1 \pm \sqrt{6}$.

б) $(x^2 + 4x)^2 - 4(x^2 + 4x) - 5 = 0$

Это уравнение также решается методом замены переменной. Пусть $z = x^2 + 4x$. Подставим $z$ в уравнение:

$z^2 - 4z - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $z$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно -5. Корни: $z_1 = 5$ и $z_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

1. Если $z = 5$, то:

$x^2 + 4x = 5$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение -5. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

2. Если $z = -1$, то:

$x^2 + 4x = -1$

$x^2 + 4x + 1 = 0$

Это уравнение решим с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

Корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$

Таким образом, получаем еще два корня:

$x_3 = -2 + \sqrt{3}$

$x_4 = -2 - \sqrt{3}$

Всего у уравнения четыре корня: $1$, $-5$, $-2 + \sqrt{3}$, $-2 - \sqrt{3}$.

Найдем их примерные значения для расположения на координатной прямой, зная, что $\sqrt{3} \approx 1.73$.

$x_1 = 1$

$x_2 = -5$

$x_3 = -2 + \sqrt{3} \approx -2 + 1.73 = -0.27$

$x_4 = -2 - \sqrt{3} \approx -2 - 1.73 = -3.73$

Расположим корни на координатной прямой в порядке возрастания: $-5$, $-2 - \sqrt{3}$, $-2 + \sqrt{3}$, $1$.

Ответ: $-5$; $1$; $-2 \pm \sqrt{3}$.