Номер 458, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 458, страница 133.

Условие.

458 Сколько корней может иметь биквадратное уравнение? Объясните свой ответ.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$.

Для решения такого уравнения вводится замена переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

После замены мы получаем квадратное уравнение относительно переменной $t$: $at^2 + bt + c = 0$.

Количество корней исходного биквадратного уравнения зависит от количества и знаков корней этого вспомогательного квадратного уравнения. Давайте рассмотрим все возможные случаи.

Четыре корня

Биквадратное уравнение имеет четыре различных корня, если вспомогательное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ имеет два различных положительных корня ($t_1 > 0$ и $t_2 > 0$).
В этом случае из уравнения $x^2 = t_1$ мы получаем два корня $x_{1,2} = \pm\sqrt{t_1}$, а из уравнения $x^2 = t_2$ — еще два корня $x_{3,4} = \pm\sqrt{t_2}$.
Пример: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.
Замена $t = x^2$ приводит к уравнению $t^2 - 13t + 36 = 0$.
Корни этого уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны.
Возвращаемся к замене:
1) $x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.
2) $x^2 = 9 \implies x_3 = 3, x_4 = -3$.
Уравнение имеет четыре корня: $\pm2, \pm3$.

Три корня

Биквадратное уравнение имеет три корня, если вспомогательное квадратное уравнение имеет два корня, один из которых положительный, а другой равен нулю ($t_1 > 0, t_2 = 0$).
Тогда $x^2 = t_1$ дает два корня $x_{1,2} = \pm\sqrt{t_1}$, а $x^2 = 0$ дает один корень $x_3 = 0$.
Пример: $x^4 - 4x^2 = 0$.
Замена $t = x^2$ приводит к $t^2 - 4t = 0$ или $t(t-4)=0$.
Корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 0$.
Возвращаемся к замене:
1) $x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.
2) $x^2 = 0 \implies x_3 = 0$.
Уравнение имеет три корня: $-2, 0, 2$.

Два корня

Этот случай возможен в двух вариантах:
1. Вспомогательное квадратное уравнение имеет один положительный корень ($t > 0$). Это происходит, например, когда дискриминант $D=0$, и единственный корень $t = -b/(2a)$ положителен.
2. Вспомогательное квадратное уравнение имеет два корня разных знаков ($t_1 > 0, t_2 < 0$).
Пример для варианта 1: $x^4 - 8x^2 + 16 = 0$.
Замена $t=x^2$ дает $(t-4)^2 = 0$, откуда $t=4$.
Тогда $x^2 = 4$, что дает два корня $x = \pm2$.
Пример для варианта 2: $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$.
Замена $t=x^2$ дает $t^2 - 2t - 8 = 0$. Корни $t_1=4$ и $t_2=-2$.
Так как $t \ge 0$, подходит только $t_1=4$.
Тогда $x^2 = 4$, что дает два корня $x = \pm2$.

Один корень

Биквадратное уравнение имеет один корень, если вспомогательное квадратное уравнение имеет единственный корень $t = 0$ или два корня, один из которых равен нулю, а другой отрицательный ($t_1 = 0, t_2 < 0$).
В обоих случаях единственным неотрицательным решением для $t$ будет $t=0$.
Тогда $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
Пример: $2x^4 + 5x^2 = 0$.
Замена $t=x^2$ приводит к $2t^2 + 5t = 0$ или $t(2t+5)=0$.
Корни $t_1 = 0$ и $t_2 = -2.5$.
Подходит только $t_1=0$.
Тогда $x^2 = 0$, что дает единственный корень $x = 0$.
Другой простой пример: $x^4 = 0$, где корень также один: $x=0$.

Ноль корней (нет корней)

Биквадратное уравнение не имеет действительных корней, если вспомогательное квадратное уравнение:
1. Не имеет действительных корней (дискриминант $D < 0$).
2. Имеет только отрицательные корни.
В этих случаях нет неотрицательных значений $t$, а значит, уравнение $x^2 = t$ не имеет решений.
Пример для варианта 1: $x^4 + x^2 + 1 = 0$.
Замена $t=x^2$ дает $t^2 + t + 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Действительных корней для $t$ нет, значит, нет и для $x$.
Пример для варианта 2: $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$.
Замена $t=x^2$ дает $t^2 + 5t + 4 = 0$. Корни $t_1 = -1$ и $t_2 = -4$.
Оба корня отрицательны, поэтому действительных корней для $x$ нет.

Ответ: Биквадратное уравнение может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 корня.