Номер 455, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 455, страница 132.

Условие.

455 a) $(x-4)^2 = \frac{40-6x}{3}$;

б) $\frac{(x-3)^2}{5} = (x-1)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x-4)^2 = \frac{40 - 6x}{3}$

Для решения данного уравнения сначала избавимся от знаменателя. Для этого умножим обе части уравнения на 3:

$3(x-4)^2 = 40 - 6x$

Далее раскроем скобки. В левой части применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$3(x^2 - 8x + 16) = 40 - 6x$

Теперь раскроем скобки в левой части, умножив каждый член на 3:

$3x^2 - 24x + 48 = 40 - 6x$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 24x + 6x + 48 - 40 = 0$

Приведем подобные члены:

$3x^2 - 18x + 8 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=3$, $b=-18$, $c=8$.

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 324 - 96 = 228$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{228} = \sqrt{4 \cdot 57} = 2\sqrt{57}$.

$x_{1,2} = \frac{-(-18) \pm 2\sqrt{57}}{2 \cdot 3} = \frac{18 \pm 2\sqrt{57}}{6}$

Сократим полученную дробь на 2:

$x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{9 + \sqrt{57}}{3}$, $x_2 = \frac{9 - \sqrt{57}}{3}$.

б) $\frac{(x-3)^2}{5} = (x-1)^2$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$(x-3)^2 = 5(x-1)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 6x + 9 = 5(x^2 - 2x + 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$x^2 - 6x + 9 = 5x^2 - 10x + 5$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные, чтобы получить уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = (5x^2 - x^2) + (-10x + 6x) + (5 - 9)$

$0 = 4x^2 - 4x - 4$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

$x^2 - x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=1$, $b=-1$, $c=-1$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.