Страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

465 a) Найдите два последовательных целых числа, произведение которых равно 210.

б) Найдите два последовательных натуральных нечётных числа, произведение которых равно 323.

а)

Пусть первое искомое целое число равно $n$. Поскольку числа последовательные, второе число будет равно $n + 1$.
По условию задачи, их произведение равно 210. Составим и решим уравнение:
$n(n + 1) = 210$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:
$n^2 + n = 210$
$n^2 + n - 210 = 0$
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант.
Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 1$, $c = -210$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$
Теперь найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$
$n_1 = \frac{-1 + 29}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$n_2 = \frac{-1 - 29}{2} = \frac{-30}{2} = -15$
Мы получили два возможных значения для первого числа. Для каждого из них найдем второе число и проверим решение:
1) Если первое число равно 14, то второе равно $14 + 1 = 15$. Их произведение: $14 \cdot 15 = 210$. Это решение подходит.
2) Если первое число равно -15, то второе равно $-15 + 1 = -14$. Их произведение: $(-15) \cdot (-14) = 210$. Это решение также подходит, так как в условии говорится о целых числах (которые могут быть отрицательными).
Следовательно, задача имеет два решения.
Ответ: 14 и 15 или -15 и -14.

б)

Пусть первое искомое натуральное нечётное число равно $x$. Так как числа являются последовательными нечётными, то второе число будет на 2 больше первого, то есть $x + 2$.
По условию задачи, их произведение равно 323. Составим и решим уравнение:
$x(x + 2) = 323$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 + 2x = 323$
$x^2 + 2x - 323 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a = 1$, $b = 2$, $c = -323$.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-323) = 4 + 1292 = 1296$
Теперь найдем корни уравнения:
$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$
$x_1 = \frac{-2 + 36}{2} = \frac{34}{2} = 17$
$x_2 = \frac{-2 - 36}{2} = \frac{-38}{2} = -19$
Согласно условию, мы ищем натуральные числа, то есть положительные целые. Корень $x_2 = -19$ не является натуральным числом, поэтому мы его отбрасываем.
Единственный подходящий корень — $x_1 = 17$. Это нечётное натуральное число.
Первое число равно 17.
Второе число равно $x + 2 = 17 + 2 = 19$.
Проверим произведение: $17 \cdot 19 = 323$. Условие выполнено.
Ответ: 17 и 19.

466 a) Сумма квадратов двух последовательных отрицательных целых чисел равна 85. Найдите эти числа.

б) Сумма квадратов двух последовательных натуральных нечётных чисел равна 130. Найдите эти числа.

в) Сумма квадратов двух последовательных целых чисел равна 41. Найдите эти числа.

а)

Пусть первое отрицательное целое число равно $x$, тогда следующее за ним последовательное целое число равно $x+1$. По условию, оба числа являются отрицательными целыми, то есть $x < 0$ и $x$ — целое число.

Сумма их квадратов по условию равна 85. Составим и решим уравнение:

$x^2 + (x+1)^2 = 85$
$x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 85$
$2x^2 + 2x + 1 - 85 = 0$
$2x^2 + 2x - 84 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + x - 42 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Согласно условию, искомые числа — отрицательные. Поэтому корень $x_2 = 6$ не является решением задачи. Подходит только корень $x_1 = -7$.

Таким образом, первое число равно -7. Тогда второе число равно $x+1 = -7+1 = -6$.

Проверка: $(-7)^2 + (-6)^2 = 49 + 36 = 85$. Равенство верно.

Ответ: -7 и -6.

б)

Пусть первое натуральное нечётное число равно $x$, тогда следующее за ним последовательное нечётное число будет $x+2$. По условию, числа являются натуральными, значит $x > 0$.

Сумма их квадратов по условию равна 130. Составим и решим уравнение:

$x^2 + (x+2)^2 = 130$
$x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 130$
$2x^2 + 4x + 4 - 130 = 0$
$2x^2 + 4x - 126 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 2x - 63 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256 = 16^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 16}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 16}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Согласно условию, искомые числа — натуральные (положительные). Поэтому корень $x_1 = -9$ не является решением. Подходит корень $x_2 = 7$, который является натуральным и нечётным числом.

Таким образом, первое число равно 7. Тогда второе число равно $x+2 = 7+2 = 9$.

Проверка: $7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130$. Равенство верно.

Ответ: 7 и 9.

в)

Пусть первое целое число равно $n$, тогда следующее за ним последовательное целое число равно $n+1$.

Сумма их квадратов по условию равна 41. Составим и решим уравнение:

$n^2 + (n+1)^2 = 41$
$n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 41$
$2n^2 + 2n + 1 - 41 = 0$
$2n^2 + 2n - 40 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:

$n^2 + n - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Оба корня являются целыми числами, поэтому условию задачи удовлетворяют две пары чисел.

1. Если первое число $n = 4$, то второе число равно $n+1 = 4+1 = 5$.
Проверка: $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.

2. Если первое число $n = -5$, то второе число равно $n+1 = -5+1 = -4$.
Проверка: $(-5)^2 + (-4)^2 = 25 + 16 = 41$.

Обе пары чисел являются решением.

Ответ: 4 и 5 или -5 и -4.

467 a) Одна из сторон стандартного листа бумаги для пишущих машинок на 9 см больше другой. Площадь листа равна $630 \text{ см}^2$. Найдите размеры листа.

б) Под аттракционы отвели площадку прямоугольной формы, одна из сторон которой на 4 м больше другой. Её площадь равна $165 \text{ м}^2$. Найдите стороны площадки.

а)

Пусть одна из сторон листа бумаги равна $x$ см. Согласно условию, другая сторона на 9 см больше, то есть ее длина составляет $(x + 9)$ см. Лист бумаги имеет прямоугольную форму, и его площадь вычисляется как произведение длин его сторон. Площадь листа равна 630 см².

Составим уравнение:

$x \cdot (x + 9) = 630$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 9x = 630$

$x^2 + 9x - 630 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-630) = 81 + 2520 = 2601$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 51}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 51}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -30$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, длина одной стороны листа равна 21 см.

Найдем длину второй стороны:

$21 + 9 = 30$ см.

Проверим: $21 \cdot 30 = 630$ см². Условие выполняется.

Ответ: размеры листа 21 см и 30 см.

б)

Пусть меньшая сторона прямоугольной площадки равна $y$ м. По условию, другая сторона на 4 м больше, значит, ее длина равна $(y + 4)$ м. Площадь площадки равна 165 м².

Составим уравнение, исходя из формулы площади прямоугольника:

$y \cdot (y + 4) = 165$

Преобразуем уравнение в квадратное:

$y^2 + 4y = 165$

$y^2 + 4y - 165 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-165) = 16 + 660 = 676$

Найдем корни уравнения по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 26}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 26}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Длина стороны не может быть отрицательным числом, поэтому корень $y_2 = -15$ не является решением задачи. Таким образом, длина меньшей стороны площадки равна 11 м.

Найдем длину большей стороны:

$11 + 4 = 15$ м.

Проверим: $11 \cdot 15 = 165$ м². Условие выполняется.

Ответ: стороны площадки 11 м и 15 м.

Сделайте по условию задачи схематический рисунок и решите задачу (468–472).

468 Садовый участок прямоугольной формы площадью $600 \text{ м}^2$ обнесён забором, длина которого $100 \text{ м}$. Чему равны стороны участка? Чему равны стороны участка такой же площади, если длина забора вокруг него составляет $140 \text{ м}$?

Схематический рисунок представляет собой прямоугольник. Обозначим его стороны как $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Длина забора — это периметр прямоугольника ($P$), который вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

Чему равны стороны участка?

По условию дано:
Площадь $S = 600 \, \text{м}^2$.
Периметр $P = 100 \, \text{м}$.

Составим систему уравнений:
$a \cdot b = 600$
$2(a+b) = 100$

Из второго уравнения выразим сумму сторон:
$a+b = \frac{100}{2}$
$a+b = 50$

Мы получили систему:
$a+b=50$
$a \cdot b = 600$

Эту систему можно решить, используя теорему Виета для квадратного уравнения $t^2 - 50t + 600 = 0$, где $t_1$ и $t_2$ будут соответствовать сторонам $a$ и $b$.

Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-50) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$t_2 = \frac{-(-50) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Следовательно, стороны прямоугольного участка равны 20 м и 30 м.

Ответ: Стороны участка равны 20 м и 30 м.

Чему равны стороны участка такой же площади, если длина забора вокруг него составляет 140 м?

По условию дано:
Площадь $S = 600 \, \text{м}^2$.
Периметр $P = 140 \, \text{м}$.

Аналогично первому случаю, составляем систему уравнений:
$a \cdot b = 600$
$2(a+b) = 140$

Из второго уравнения:
$a+b = \frac{140}{2}$
$a+b = 70$

Решаем задачу с помощью квадратного уравнения $t^2 - 70t + 600 = 0$.

Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-70)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 4900 - 2400 = 2500$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-70) + \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{70 + 50}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$t_2 = \frac{-(-70) - \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{70 - 50}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Следовательно, в этом случае стороны участка равны 10 м и 60 м.

Ответ: Стороны участка равны 10 м и 60 м.

469 Кусок стекла имеет форму квадрата. Когда от него отрезали полосу шириной 20 см, его площадь стала равна 3500 $\text{см}^2$. Найдите первоначальные размеры куска стекла.

Пусть сторона первоначального квадратного куска стекла равна $x$ см. Поскольку форма стекла — квадрат, его размеры составляют $x$ см на $x$ см.

Когда от куска отрезали полосу шириной 20 см, одна из сторон стала короче. Новая форма представляет собой прямоугольник с размерами $x$ см и $(x - 20)$ см.

Площадь этого прямоугольника вычисляется как произведение его сторон и, по условию задачи, равна 3500 см². Составим уравнение:

$x \cdot (x - 20) = 3500$

Для решения раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 20x = 3500$

$x^2 - 20x - 3500 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=1$, $b=-20$, $c=-3500$.

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500) = 400 + 14000 = 14400$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 120}{2} = \frac{140}{2} = 70$

$x_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 120}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -50$ не имеет физического смысла и не является решением задачи.

Следовательно, первоначальная сторона квадратного куска стекла была равна 70 см.

Ответ: первоначальные размеры куска стекла — 70 см × 70 см.

470 Один катет прямоугольного треугольника на 7 см больше другого, а периметр треугольника равен 30 см. Найдите все стороны треугольника.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $a$, второй катет — $b$, а гипотенуза — $c$.

По условию задачи, один катет на 7 см больше другого. Обозначим длину меньшего катета за $x$ см. Тогда длина большего катета будет $(x + 7)$ см.
Итак, пусть $b = x$ см, а $a = x + 7$ см.

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.
По условию, периметр равен 30 см. Составим уравнение, подставив в него выражения для сторон через $x$ и гипотенузу $c$:
$(x+7) + x + c = 30$
$2x + 7 + c = 30$
$c = 30 - 7 - 2x = 23 - 2x$

Теперь подставим все выражения для сторон, выраженные через $x$, в теорему Пифагора:
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x+7)^2 + x^2 = (23 - 2x)^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$x^2 + 14x + 49 + x^2 = 23^2 - 2 \cdot 23 \cdot 2x + (2x)^2$
$2x^2 + 14x + 49 = 529 - 92x + 4x^2$

Приведем подобные слагаемые и получим стандартное квадратное уравнение:
$4x^2 - 2x^2 - 92x - 14x + 529 - 49 = 0$
$2x^2 - 106x + 480 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 - 53x + 240 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-53)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 2809 - 960 = 1849$
$\sqrt{D} = \sqrt{1849} = 43$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-53) + 43}{2 \cdot 1} = \frac{53 + 43}{2} = \frac{96}{2} = 48$
$x_2 = \frac{-(-53) - 43}{2 \cdot 1} = \frac{53 - 43}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Длина стороны треугольника не может быть такой, чтобы периметр был меньше суммы двух других сторон. Проверим наши корни.
Если $x_1 = 48$, то один катет равен 48 см, а второй $48+7=55$ см. Сумма только двух катетов уже $48+55=103$ см, что больше заданного периметра в 30 см. Следовательно, этот корень не является решением задачи.
Если $x_2 = 5$, то один катет равен 5 см.

Теперь найдем длины всех сторон треугольника:
Меньший катет: $b = x = 5$ см.
Больший катет: $a = x + 7 = 5 + 7 = 12$ см.
Гипотенуза: $c = 30 - a - b = 30 - 5 - 12 = 13$ см.

Выполним проверку по теореме Пифагора, чтобы убедиться, что треугольник прямоугольный:
$a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$c^2 = 13^2 = 169$
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, то найденные стороны образуют прямоугольный треугольник. Все условия задачи выполнены.

Ответ: стороны треугольника равны 5 см, 12 см и 13 см.

471 Две дороги пересекаются под прямым углом. От перекрёстка одновременно отъехали два велосипедиста, один в южном направлении, а другой в восточном. Скорость второго была на $4 \text{ км/ч}$ больше скорости первого. Через час расстояние между ними оказалось равным $20 \text{ км}$. Определите скорость каждого велосипедиста.

Пусть скорость первого велосипедиста, который ехал в южном направлении, равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость второго велосипедиста, который ехал в восточном направлении, была на 4 км/ч больше, то есть она равна $(x + 4)$ км/ч.

За время $t = 1$ час первый велосипедист проехал расстояние $S_1 = v \cdot t = x \cdot 1 = x$ км. Второй велосипедист за то же время проехал расстояние $S_2 = (x + 4) \cdot 1 = x + 4$ км.

Так как дороги пересекаются под прямым углом, пути велосипедистов представляют собой катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между ними через час — это гипотенуза этого треугольника, которая по условию равна 20 км.

Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$). Составим уравнение:
$S_1^2 + S_2^2 = 20^2$
$x^2 + (x + 4)^2 = 400$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Раскроем скобки:
$x^2 + (x^2 + 8x + 16) = 400$
$2x^2 + 8x + 16 = 400$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$2x^2 + 8x + 16 - 400 = 0$
$2x^2 + 8x - 384 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2:
$x^2 + 4x - 192 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$
$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Теперь найдем значения $x$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 28}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 28}{2 \cdot 1} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -16$ не соответствует условию задачи. Следовательно, скорость первого велосипедиста равна 12 км/ч.

Найдем скорость второго велосипедиста:
$x + 4 = 12 + 4 = 16$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 12 км/ч, скорость второго — 16 км/ч.