Страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

496 a) $0,02x^2 + 0,005x = 0;$

б) $\frac{x^2}{3} = \frac{x}{6};$

в) $\frac{1}{100} = \frac{x^2}{10};$

г) $-0,001 = -0,004x^2;$

д) $\frac{x-1}{5} = \frac{x^2-5}{25};$

е) $\frac{x^2}{3} = \frac{1}{27}.$

Подсказка. Преобразуйте уравнение в уравнение с целыми коэффициентами.

а) Исходное уравнение: $0,02x^2 + 0,005x = 0$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 1000. Это число выбрано потому, что у коэффициента 0,005 три знака после запятой.
$1000 \cdot (0,02x^2 + 0,005x) = 1000 \cdot 0$
$20x^2 + 5x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:
$5x(4x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $5x = 0 \implies x_1 = 0$
2) $4x + 1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x_2 = -1/4 = -0,25$
Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -0,25$.

б) Исходное уравнение: $\frac{x^2}{3} = \frac{x}{6}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6.
$6 \cdot \frac{x^2}{3} = 6 \cdot \frac{x}{6}$
$2x^2 = x$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x - 1) = 0$
1) $x_1 = 0$
2) $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = 1/2 = 0,5$
Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 0,5$.

в) Исходное уравнение: $\frac{1}{100} = \frac{x^2}{10}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 100.
$100 \cdot \frac{1}{100} = 100 \cdot \frac{x^2}{10}$
$1 = 10x^2$
Выразим $x^2$:
$x^2 = \frac{1}{10}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{10}} = \pm\frac{1}{\sqrt{10}}$
Можно избавиться от иррациональности в знаменателе: $x = \pm\frac{\sqrt{10}}{10}$
Ответ: $x_1 = \frac{\sqrt{10}}{10}$, $x_2 = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

г) Исходное уравнение: $-0,001 = -0,004x^2$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 1000.
$1000 \cdot (-0,001) = 1000 \cdot (-0,004x^2)$
$-1 = -4x^2$
Разделим обе части на -4:
$x^2 = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$
Ответ: $x_1 = 0,5$, $x_2 = -0,5$.

д) Исходное уравнение: $\frac{x-1}{5} = \frac{x^2-5}{25}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 25.
$25 \cdot \frac{x-1}{5} = 25 \cdot \frac{x^2-5}{25}$
$5(x-1) = x^2-5$
Раскроем скобки:
$5x - 5 = x^2 - 5$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = x^2 - 5x - 5 + 5$
$x^2 - 5x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 5) = 0$
1) $x_1 = 0$
2) $x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$
Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.

е) Исходное уравнение: $\frac{x^2}{3} = \frac{1}{27}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 27.
$27 \cdot \frac{x^2}{3} = 27 \cdot \frac{1}{27}$
$9x^2 = 1$
Выразим $x^2$:
$x^2 = \frac{1}{9}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm\frac{1}{3}$
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = -\frac{1}{3}$.

497 Найдите корни уравнения:

а) $x^3 - x = 0;$

б) $x^3 + 4x^2 = 0;$

в) $9x^3 - x = 0;$

г) $2x^2 + 4x^3 = 0;$

д) $-10x^2 + 2x^3 = 0;$

е) $2x + 18x^3 = 0.$

а) $x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $x = 0$
2) $x^2 - 1 = 0$. Это формула разности квадратов: $(x - 1)(x + 1) = 0$. Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.
В итоге получаем три корня.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

б) $x^3 + 4x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $x^2(x + 4) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
2) $x + 4 = 0$, откуда $x = -4$.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 0$.

в) $9x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(9x^2 - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $x = 0$
2) $9x^2 - 1 = 0$. Отсюда $9x^2 = 1$, $x^2 = \frac{1}{9}$. Корни этого уравнения $x = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$ и $x = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$.
В итоге получаем три корня.
Ответ: $x_1 = -\frac{1}{3}, x_2 = 0, x_3 = \frac{1}{3}$.

г) $2x^2 + 4x^3 = 0$
Вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки: $2x^2(1 + 2x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $2x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
2) $1 + 2x = 0$. Отсюда $2x = -1$, $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = 0$.

д) $-10x^2 + 2x^3 = 0$
Переставим слагаемые местами для удобства: $2x^3 - 10x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки: $2x^2(x - 5) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $2x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
2) $x - 5 = 0$, откуда $x = 5$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 5$.

е) $2x + 18x^3 = 0$
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки: $2x(1 + 9x^2) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $2x = 0$, откуда $x = 0$.
2) $1 + 9x^2 = 0$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, следовательно $9x^2 \ge 0$, а $1 + 9x^2 \ge 1$. Выражение $1 + 9x^2$ никогда не может быть равно нулю.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $x = 0$.

Решите задачу (498—502).

498 a) Произведение двух последовательных натуральных чисел больше меньшего из этих чисел на 25. Найдите эти числа.

б) Произведение двух последовательных натуральных чисел больше большего из этих чисел на 48. Найдите эти числа.

а)

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда следующее за ним (большее) натуральное число будет $n + 1$.

По условию задачи, произведение этих чисел на 25 больше меньшего из них. Это можно записать в виде уравнения:

$n(n + 1) = n + 25$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$n^2 + n = n + 25$

Перенесем все члены в левую часть:

$n^2 + n - n - 25 = 0$

$n^2 = 25$

Это уравнение имеет два корня: $n_1 = \sqrt{25} = 5$ и $n_2 = -\sqrt{25} = -5$.

Поскольку в условии задачи говорится о натуральных числах, корень $n = -5$ не удовлетворяет условию. Следовательно, меньшее число равно 5.

Тогда большее число равно $n + 1 = 5 + 1 = 6$.

Проверим: произведение чисел $5 \cdot 6 = 30$. Меньшее число 5. $30 - 5 = 25$. Условие выполняется.

Ответ: 5 и 6.

б)

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда большее число равно $n + 1$.

По условию задачи, произведение этих чисел на 48 больше большего из них. Составим уравнение:

$n(n + 1) = (n + 1) + 48$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$n^2 + n = n + 1 + 48$

$n^2 + n = n + 49$

Перенесем все члены в левую часть:

$n^2 + n - n - 49 = 0$

$n^2 = 49$

Это уравнение имеет два корня: $n_1 = \sqrt{49} = 7$ и $n_2 = -\sqrt{49} = -7$.

Так как мы ищем натуральные числа, корень $n = -7$ нам не подходит. Следовательно, меньшее число равно 7.

Тогда большее число равно $n + 1 = 7 + 1 = 8$.

Проверим: произведение чисел $7 \cdot 8 = 56$. Большее число 8. $56 - 8 = 48$. Условие выполняется.

Ответ: 7 и 8.

499 а) Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а его гипотенуза равна 1 дм. Найдите периметр треугольника.

б) Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно $\frac{17}{8}$, а другой катет равен 30 см. Найдите площадь треугольника.

а)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию, катеты относятся как $3:4$, то есть $a:b = 3:4$. Мы можем выразить их длины через коэффициент пропорциональности $x$: $a = 3x$ и $b = 4x$.

Гипотенуза $c = 1 \text{ дм}$. Для удобства вычислений переведем дециметры в сантиметры: $c = 10 \text{ см}$.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим наши выражения для катетов и значение гипотенузы в формулу:

$(3x)^2 + (4x)^2 = 10^2$

$9x^2 + 16x^2 = 100$

$25x^2 = 100$

$x^2 = \frac{100}{25} = 4$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, $x = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем длины катетов:

$a = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}$

$b = 4x = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}$

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

$P = 6 \text{ см} + 8 \text{ см} + 10 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Можно также выразить ответ в дециметрах: $24 \text{ см} = 2.4 \text{ дм}$.

Ответ: $24 \text{ см}$ (или $2.4 \text{ дм}$).

б)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию, отношение гипотенузы к одному из катетов равно $\frac{17}{8}$. Пусть это будет катет $a$. Тогда $\frac{c}{a} = \frac{17}{8}$.

Это соотношение можно выразить через коэффициент пропорциональности $x$: $c = 17x$ и $a = 8x$.

Другой катет по условию равен $b = 30 \text{ см}$.

Применим теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения и выражения:

$(8x)^2 + 30^2 = (17x)^2$

$64x^2 + 900 = 289x^2$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в одну сторону:

$289x^2 - 64x^2 = 900$

$225x^2 = 900$

$x^2 = \frac{900}{225} = 4$

Так как $x$ должен быть положительным, $x = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем длину катета $a$:

$a = 8x = 8 \cdot 2 = 16 \text{ см}$.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$.

У нас есть оба катета: $a = 16 \text{ см}$ и $b = 30 \text{ см}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240 \text{ см}^2$.

Ответ: $240 \text{ см}^2$.

500 На перекрёстке двух дорог встретились пешеход и велосипедист, а затем каждый продолжил свой путь: велосипедист — на север со скоростью $12 \text{ км/ч}$, а пешеход — на восток со скоростью $5 \text{ км/ч}$. Через какое время после их встречи пешеход и велосипедист окажутся на расстоянии $26 \text{ км}$ друг от друга?

Пусть $t$ — искомое время в часах. Примем точку встречи на перекрестке за начало координат. Велосипедист движется на север со скоростью $v_в = 12$ км/ч, а пешеход — на восток со скоростью $v_п = 5$ км/ч. Так как направления "север" и "восток" взаимно перпендикулярны, траектории их движения образуют прямой угол.

За время $t$ велосипедист проедет расстояние $S_в$, равное произведению его скорости на время:
$S_в = v_в \cdot t = 12t$ км.

Аналогично, за то же время $t$ пешеход пройдет расстояние $S_п$:
$S_п = v_п \cdot t = 5t$ км.

Положения велосипедиста, пешехода и точка их встречи (перекресток) в любой момент времени $t$ образуют прямоугольный треугольник. Расстояния, пройденные велосипедистом ($S_в$) и пешеходом ($S_п$), являются катетами этого треугольника. Расстояние $S$ между ними является гипотенузой.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$S^2 = S_в^2 + S_п^2$

Согласно условию задачи, искомое расстояние между ними $S = 26$ км. Подставим все известные значения в уравнение:
$26^2 = (12t)^2 + (5t)^2$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $t$:
$676 = 144t^2 + 25t^2$
$676 = (144 + 25)t^2$
$676 = 169t^2$
$t^2 = \frac{676}{169}$
$t^2 = 4$
$t = \sqrt{4}$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, мы берем только положительное значение корня:
$t = 2$ ч.

Ответ: через 2 часа.

ростью 9 км/ч. Через какое время после их встречи пешеход и велосипедист окажутся на расстоянии 26 км друг от друга?

501 Секция паркета, площадь которого равна $400 \text{ см}^2$, состоит из шести прямоугольных пластин одинаковой ширины (рис. 3.6). Стороны большой пластины относятся как $1:3$. Определите размеры большой и малой пластин.

Рис. 3.6

Для решения задачи введем переменную. Пусть $w$ – это одинаковая для всех шести прямоугольных пластин ширина.

Согласно условию, стороны большой пластины относятся как 1:3. Поскольку одна из сторон равна общей ширине $w$, то размеры большой пластины будут $w$ и $3w$.

Проанализируем схему расположения пластин (рис. 3.6), чтобы определить размеры малой пластины и их количество. Секция паркета состоит из шести пластин, которые можно сгруппировать по их положению и размерам:

• Центральный блок и боковые пластины: В центре расположены две пластины, поставленные вертикально. По бокам от них находятся еще две вертикальные пластины. Судя по рисунку, все четыре пластины имеют одинаковую высоту. Эта высота является их длиной. Высота центрального блока определяется длиной составляющих его пластин, которая равна $3w$. Следовательно, боковые пластины также имеют длину $3w$. Таким образом, в среднем ряду находятся четыре одинаковые пластины размером $w \times 3w$. Это и есть большие пластины.
• Верхняя и нижняя пластины: Сверху и снизу расположены две горизонтальные пластины. Их высота равна общей ширине $w$. Их длина должна соответствовать общей ширине среднего ряда, которая складывается из ширин четырех больших пластин: $w + w + w + w = 4w$. Следовательно, размеры этих пластин равны $w \times 4w$. Это малые пластины.

Таким образом, вся секция паркета состоит из четырех больших пластин ($w \times 3w$) и двух малых пластин ($w \times 4w$).

Теперь найдем общую площадь секции, сложив площади всех шести пластин:

$S_{общ} = 4 \times (w \cdot 3w) + 2 \times (w \cdot 4w) = 12w^2 + 8w^2 = 20w^2$

По условию задачи общая площадь равна 400 см². Составим и решим уравнение:

$20w^2 = 400$

$w^2 = \frac{400}{20}$

$w^2 = 20$

$w = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Зная значение $w$, мы можем определить точные размеры большой и малой пластин.

Размеры большой пластины

Ширина большой пластины равна $w = 2\sqrt{5}$ см.

Длина большой пластины равна $3w = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см $\times$ $6\sqrt{5}$ см.

Размеры малой пластины

Ширина малой пластины равна $w = 2\sqrt{5}$ см.

Длина малой пластины равна $4w = 4 \cdot 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см $\times$ $8\sqrt{5}$ см.

502 При решении следующих задач воспользуйтесь формулой из задачи 475.

а) Мяч отскочил от пола вертикально вверх с начальной скоростью 10 $м/с$. Через сколько секунд он снова коснётся пола?

б) Мальчик бросил мяч вертикально вверх с начальной скоростью 12 $м/с$. Через сколько секунд он поймал мяч?

а)

Для решения задачи воспользуемся формулой, описывающей зависимость высоты $h$ тела, брошенного вертикально вверх, от времени $t$. Эта формула, вероятно, является той, что была представлена в задаче 475: $h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$, где $v_0$ — начальная скорость, а $g$ — ускорение свободного падения. В школьных задачах, если не указано иное, ускорение свободного падения $g$ принято считать равным $10 \text{ м/с}^2$.

Мяч отскочил от пола, значит, его начальная высота равна нулю. Мы ищем время, через которое он снова коснётся пола, то есть окажется на той же высоте $h=0$. Подставим это значение в уравнение движения:

$0 = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Это уравнение можно решить, вынеся $t$ за скобки:

$t \cdot (v_0 - \frac{gt}{2}) = 0$

Уравнение имеет два корня. Первый корень $t_1 = 0$ соответствует начальному моменту времени, когда мяч находится на полу. Второй корень мы найдем, приравняв выражение в скобках к нулю. Он и будет соответствовать моменту времени, когда мяч вернется на пол.

$v_0 - \frac{gt}{2} = 0$

Отсюда выражаем время полета $t$:

$t = \frac{2v_0}{g}$

Теперь подставим данные из условия задачи: начальная скорость $v_0 = 10 \text{ м/с}$ и ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

$t = \frac{2 \times 10 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 2 \text{ с}$

Ответ: через 2 с.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Мальчик бросил мяч вверх и затем поймал его. Мы предполагаем, что он поймал мяч на той же высоте, с которой бросил. Это означает, что полное перемещение мяча по вертикали равно нулю ($h=0$), и мы можем использовать ту же формулу для времени полета, что и в пункте а):

$t = \frac{2v_0}{g}$

По условию, начальная скорость мяча $v_0 = 12 \text{ м/с}$. Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Подставим числовые значения в формулу:

$t = \frac{2 \times 12 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{24}{10} \text{ с} = 2,4 \text{ с}$

Ответ: через 2,4 с.