Номер 496, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 496, страница 144.

Условие.

496 a) $0,02x^2 + 0,005x = 0;$

б) $\frac{x^2}{3} = \frac{x}{6};$

в) $\frac{1}{100} = \frac{x^2}{10};$

г) $-0,001 = -0,004x^2;$

д) $\frac{x-1}{5} = \frac{x^2-5}{25};$

е) $\frac{x^2}{3} = \frac{1}{27}.$

Подсказка. Преобразуйте уравнение в уравнение с целыми коэффициентами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное уравнение: $0,02x^2 + 0,005x = 0$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 1000. Это число выбрано потому, что у коэффициента 0,005 три знака после запятой.
$1000 \cdot (0,02x^2 + 0,005x) = 1000 \cdot 0$
$20x^2 + 5x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:
$5x(4x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $5x = 0 \implies x_1 = 0$
2) $4x + 1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x_2 = -1/4 = -0,25$
Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -0,25$.

б) Исходное уравнение: $\frac{x^2}{3} = \frac{x}{6}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6.
$6 \cdot \frac{x^2}{3} = 6 \cdot \frac{x}{6}$
$2x^2 = x$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x - 1) = 0$
1) $x_1 = 0$
2) $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = 1/2 = 0,5$
Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 0,5$.

в) Исходное уравнение: $\frac{1}{100} = \frac{x^2}{10}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 100.
$100 \cdot \frac{1}{100} = 100 \cdot \frac{x^2}{10}$
$1 = 10x^2$
Выразим $x^2$:
$x^2 = \frac{1}{10}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{10}} = \pm\frac{1}{\sqrt{10}}$
Можно избавиться от иррациональности в знаменателе: $x = \pm\frac{\sqrt{10}}{10}$
Ответ: $x_1 = \frac{\sqrt{10}}{10}$, $x_2 = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

г) Исходное уравнение: $-0,001 = -0,004x^2$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 1000.
$1000 \cdot (-0,001) = 1000 \cdot (-0,004x^2)$
$-1 = -4x^2$
Разделим обе части на -4:
$x^2 = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$
Ответ: $x_1 = 0,5$, $x_2 = -0,5$.

д) Исходное уравнение: $\frac{x-1}{5} = \frac{x^2-5}{25}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 25.
$25 \cdot \frac{x-1}{5} = 25 \cdot \frac{x^2-5}{25}$
$5(x-1) = x^2-5$
Раскроем скобки:
$5x - 5 = x^2 - 5$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = x^2 - 5x - 5 + 5$
$x^2 - 5x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 5) = 0$
1) $x_1 = 0$
2) $x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$
Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.

е) Исходное уравнение: $\frac{x^2}{3} = \frac{1}{27}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 27.
$27 \cdot \frac{x^2}{3} = 27 \cdot \frac{1}{27}$
$9x^2 = 1$
Выразим $x^2$:
$x^2 = \frac{1}{9}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm\frac{1}{3}$
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = -\frac{1}{3}$.