Номер 497, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 497, страница 144.

Условие.

497 Найдите корни уравнения:

а) $x^3 - x = 0;$

б) $x^3 + 4x^2 = 0;$

в) $9x^3 - x = 0;$

г) $2x^2 + 4x^3 = 0;$

д) $-10x^2 + 2x^3 = 0;$

е) $2x + 18x^3 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $x = 0$
2) $x^2 - 1 = 0$. Это формула разности квадратов: $(x - 1)(x + 1) = 0$. Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.
В итоге получаем три корня.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

б) $x^3 + 4x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $x^2(x + 4) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
2) $x + 4 = 0$, откуда $x = -4$.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 0$.

в) $9x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(9x^2 - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $x = 0$
2) $9x^2 - 1 = 0$. Отсюда $9x^2 = 1$, $x^2 = \frac{1}{9}$. Корни этого уравнения $x = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$ и $x = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$.
В итоге получаем три корня.
Ответ: $x_1 = -\frac{1}{3}, x_2 = 0, x_3 = \frac{1}{3}$.

г) $2x^2 + 4x^3 = 0$
Вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки: $2x^2(1 + 2x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $2x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
2) $1 + 2x = 0$. Отсюда $2x = -1$, $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = 0$.

д) $-10x^2 + 2x^3 = 0$
Переставим слагаемые местами для удобства: $2x^3 - 10x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки: $2x^2(x - 5) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $2x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
2) $x - 5 = 0$, откуда $x = 5$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 5$.

е) $2x + 18x^3 = 0$
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки: $2x(1 + 9x^2) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $2x = 0$, откуда $x = 0$.
2) $1 + 9x^2 = 0$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, следовательно $9x^2 \ge 0$, а $1 + 9x^2 \ge 1$. Выражение $1 + 9x^2$ никогда не может быть равно нулю.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $x = 0$.