Номер 3, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 143.

Условие.

Решите уравнения $9x^2 - 1 = 0$ и $x^2 + 9 = 0$, воспользовавшись в качестве образцов примерами 2 и 3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$?

Решение 3.

Решение 4.

Решение уравнения $9x^2 - 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения выразим $x^2$.
Перенесем свободный член (-1) в правую часть уравнения, изменив его знак:
$9x^2 = 1$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 9:
$x^2 = \frac{1}{9}$
Так как правая часть уравнения положительна, уравнение имеет два корня. Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}$
$x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = -\frac{1}{3}$.

Решение уравнения $x^2 + 9 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Выразим $x^2$.
Перенесем свободный член (9) в правую часть уравнения:
$x^2 = -9$
Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Поскольку в правой части уравнения стоит отрицательное число (-9), данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет действительных корней.

Сколько корней может иметь квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$?

Рассмотрим общее уравнение вида $ax^2 + c = 0$, где $a \neq 0$.
Выразим из него $x^2$:
$ax^2 = -c$
$x^2 = -\frac{c}{a}$
Количество действительных корней этого уравнения зависит от знака дроби $-\frac{c}{a}$:

• Если $-\frac{c}{a} > 0$ (это происходит, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют противоположные знаки), то уравнение имеет два различных корня: $x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$. Пример: $9x^2 - 1 = 0$.
• Если $-\frac{c}{a} = 0$ (это происходит, когда $c = 0$, а $a \neq 0$), то уравнение имеет один корень: $x = 0$. Пример: $2x^2 = 0$.
• Если $-\frac{c}{a} < 0$ (это происходит, когда коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки), то уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Пример: $x^2 + 9 = 0$.

Ответ: Квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$ может иметь два, один или ноль действительных корней.