Номер 486, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Решение задач. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 486, страница 140.

Условие.

486 На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Все они попарно соединены отрезками. Сколько всего отмечено точек, если проведено 105 отрезков?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть n — это количество отмеченных на плоскости точек.

Согласно условию, каждые две точки соединены одним отрезком, и никакие три точки не лежат на одной прямой. Это означает, что общее количество проведенных отрезков равно числу всех возможных пар точек, которые можно составить из n имеющихся. В комбинаторике это соответствует числу сочетаний из n по 2.

Формула для числа сочетаний из n элементов по 2 ($C_n^2$) выглядит так:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

В задаче сказано, что всего проведено 105 отрезков. Мы можем составить уравнение, приравняв формулу к этому числу:

$\frac{n(n-1)}{2} = 105$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти n. Сначала умножим обе части уравнения на 2:

$n(n-1) = 105 \cdot 2$

$n(n-1) = 210$

Это уравнение можно решить как квадратное ($n^2 - n - 210 = 0$) или методом подбора. Нам нужно найти два последовательных целых числа, произведение которых равно 210.

Попробуем подобрать. Мы знаем, что $10 \cdot 10 = 100$ и $20 \cdot 20 = 400$, значит, искомое число n находится между 10 и 20. Проверим, например, $n=15$:

$15 \cdot (15-1) = 15 \cdot 14 = 210$

Равенство выполняется, следовательно, $n=15$.

Другой способ — решить квадратное уравнение $n^2 - n - 210 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$

$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 29}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 29}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Так как количество точек n должно быть положительным целым числом, то единственное решение, имеющее физический смысл, — это $n=15$.

Ответ: 15.