Страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

485 В турнире шахматистов каждый из участников сыграл с каждым по одной партии, всего было сыграно 120 партий. Сколько шахматистов участвовало в турнире?

Пусть $n$ — это количество шахматистов, участвовавших в турнире. Согласно условию, каждый участник сыграл с каждым другим участником ровно одну партию. Это означает, что общее число сыгранных партий равно числу всех возможных пар игроков, которые можно составить из $n$ участников. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по 2.

Формула для числа сочетаний из $n$ по 2 имеет вид: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

В задаче указано, что всего было сыграно 120 партий. Используя эту информацию, мы можем составить уравнение: $\frac{n(n-1)}{2} = 120$.

Для того чтобы найти $n$, решим это уравнение. Сначала умножим обе части уравнения на 2:
$n(n-1) = 240$.
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $an^2 + bn + c = 0$:
$n^2 - n - 240 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-(-1) + 31}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 31}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
$n_2 = \frac{-(-1) - 31}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 31}{2} = \frac{-30}{2} = -15$.

Поскольку количество шахматистов не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -15$ не является решением задачи. Таким образом, единственное подходящее решение — $n=16$.

Ответ: 16

486 На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Все они попарно соединены отрезками. Сколько всего отмечено точек, если проведено 105 отрезков?

Пусть n — это количество отмеченных на плоскости точек.

Согласно условию, каждые две точки соединены одним отрезком, и никакие три точки не лежат на одной прямой. Это означает, что общее количество проведенных отрезков равно числу всех возможных пар точек, которые можно составить из n имеющихся. В комбинаторике это соответствует числу сочетаний из n по 2.

Формула для числа сочетаний из n элементов по 2 ($C_n^2$) выглядит так:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

В задаче сказано, что всего проведено 105 отрезков. Мы можем составить уравнение, приравняв формулу к этому числу:

$\frac{n(n-1)}{2} = 105$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти n. Сначала умножим обе части уравнения на 2:

$n(n-1) = 105 \cdot 2$

$n(n-1) = 210$

Это уравнение можно решить как квадратное ($n^2 - n - 210 = 0$) или методом подбора. Нам нужно найти два последовательных целых числа, произведение которых равно 210.

Попробуем подобрать. Мы знаем, что $10 \cdot 10 = 100$ и $20 \cdot 20 = 400$, значит, искомое число n находится между 10 и 20. Проверим, например, $n=15$:

$15 \cdot (15-1) = 15 \cdot 14 = 210$

Равенство выполняется, следовательно, $n=15$.

Другой способ — решить квадратное уравнение $n^2 - n - 210 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$

$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 29}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 29}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Так как количество точек n должно быть положительным целым числом, то единственное решение, имеющее физический смысл, — это $n=15$.

Ответ: 15.

487 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Разберите, как по условию задачи составлено уравнение, и решите её. Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 200 р., а окончательная 338 р.?

Способ 1. Пусть цена товара каждый раз повышалась на $x$ процентов, т. е. на $\frac{x}{100}$ величины. Тогда $(200 + 200 \cdot \frac{x}{100})$ р. — цена товара после первого повышения;

$( (200 + 2x) + (200 + 2x) \cdot \frac{x}{100} )$ р.— цена товара после второго повышения. Так как окончательная цена 338 р., то имеем равенство

$(200 + 2x) + (200 + 2x) \cdot \frac{x}{100} = 338.$

Способ 2. Пусть цена товара каждый раз увеличивалась в $x$ раз. Тогда $(200 \cdot x) \cdot x$ р. — цена товара после второго повышения. Имеем уравнение $(200 \cdot x) \cdot x = 338.$

Способ 1.

В этом способе за $x$ принимается искомое число процентов. Уравнение составляется путем последовательного вычисления цены после каждого повышения.

1. Первое повышение. Первоначальная цена товара – 200 р. Цена повышается на $x$ процентов. Величина повышения в рублях составляет $x$ процентов от 200, то есть $200 \cdot \frac{x}{100} = 2x$ р. Новая цена после первого повышения будет равна сумме первоначальной цены и величины повышения: $200 + 2x$ р. В тексте задачи это представлено выражением $(200 + 200 \cdot \frac{x}{100})$.

2. Второе повышение. Второе повышение на $x$ процентов рассчитывается уже от новой цены, которая составляет $(200 + 2x)$ р. Величина второго повышения составит $x$ процентов от этой суммы: $(200 + 2x) \cdot \frac{x}{100}$ р. Окончательная цена получается путем прибавления этого повышения к цене после первой наценки: $(200 + 2x) + (200 + 2x) \cdot \frac{x}{100}$ р.

3. Составление уравнения. Так как известна окончательная цена (338 р.), мы приравниваем полученное выражение к этому значению и получаем уравнение, которое и представлено в условии: $(200 + 2x) + (200 + 2x) \cdot \frac{x}{100} = 338$.

Решение уравнения:

Вынесем общий множитель $(200 + 2x)$ за скобки:

$(200 + 2x)(1 + \frac{x}{100}) = 338$

Вынесем 2 за скобки в первом множителе и приведем к общему знаменателю второй:

$2(100 + x)(\frac{100 + x}{100}) = 338$

$\frac{2(100 + x)^2}{100} = 338$

$\frac{(100 + x)^2}{50} = 338$

Умножим обе части на 50:

$(100 + x)^2 = 338 \cdot 50$

$(100 + x)^2 = 16900$

Извлечем квадратный корень:

$100 + x = 130$ или $100 + x = -130$

Из первого уравнения $x = 130 - 100 = 30$.

Из второго уравнения $x = -130 - 100 = -230$.

Поскольку $x$ — это процент повышения, он должен быть положительным числом. Поэтому $x = 30$.

Ответ: цена товара каждый раз повышалась на 30%.

Способ 2.

В этом способе за $x$ принимается множитель, на который увеличивалась цена. Если цена увеличивается на $p$ процентов, то она умножается на коэффициент $x = 1 + \frac{p}{100}$.

1. Первое повышение. Первоначальная цена 200 р. увеличивается в $x$ раз. Новая цена: $200 \cdot x$ р.

2. Второе повышение. Новая цена $200 \cdot x$ р. снова увеличивается в $x$ раз. Окончательная цена: $(200 \cdot x) \cdot x = 200x^2$ р.

3. Составление уравнения. Приравниваем выражение для окончательной цены к известному значению 338 р. и получаем уравнение: $200x^2 = 338$.

Решение уравнения:

$200x^2 = 338$

Разделим обе части на 200:

$x^2 = \frac{338}{200} = \frac{169}{100} = 1.69$

Извлечем квадратный корень:

$x = \sqrt{1.69} = 1.3$ или $x = -\sqrt{1.69} = -1.3$

Так как цена увеличивалась, множитель $x$ должен быть положительным (и больше 1), поэтому $x=1.3$.

Множитель $x=1.3$ означает, что цена каждый раз становилась равной 130% от предыдущей. Чтобы найти процент повышения, нужно вычесть 1 из множителя и умножить на 100:

$(1.3 - 1) \cdot 100\% = 0.3 \cdot 100\% = 30\%$

Ответ: цена товара каждый раз повышалась на 30%.

488 Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 400 р., а окончательная 256 р.?

Совет. Используйте ход рассуждения, данный в задаче 487.

Пусть первоначальная стоимость товара равна $P_0 = 400$ р., а окончательная стоимость — $P_2 = 256$ р. Обозначим искомое число процентов, на которое снижалась цена, через $x$.

При снижении цены на $x$ процентов, ее новая величина составляет $(100 - x)\%$ от предыдущей. Чтобы найти новую цену, нужно умножить старую цену на коэффициент $k = \frac{100 - x}{100} = 1 - \frac{x}{100}$.

После первого снижения цена товара $P_1$ составит: $P_1 = P_0 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$

Поскольку цена снижалась дважды на одно и то же число процентов, то после второго снижения новая цена $P_2$ будет равна: $P_2 = P_1 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right) = \left(P_0 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right) = P_0 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2$

Подставим в это уравнение известные значения $P_0 = 400$ и $P_2 = 256$: $256 = 400 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2$

Для того чтобы найти $x$, решим полученное уравнение. Сначала выразим квадрат скобки, разделив обе части уравнения на 400: $\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{256}{400}$

Упростим дробь в правой части: $\frac{256}{400} = \frac{64 \cdot 4}{100 \cdot 4} = \frac{64}{100} = 0.64$

Теперь уравнение выглядит так: $\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = 0.64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку $x$ — это процент снижения, то $0 < x < 100$, а значит выражение $1 - \frac{x}{100}$ должно быть положительным. $1 - \frac{x}{100} = \sqrt{0.64}$ $1 - \frac{x}{100} = 0.8$

Теперь найдем $\frac{x}{100}$: $\frac{x}{100} = 1 - 0.8$ $\frac{x}{100} = 0.2$

Отсюда находим $x$: $x = 0.2 \cdot 100 = 20$

Таким образом, цена товара каждый раз снижалась на 20 процентов.

Ответ: 20%.

489 ИССЛЕДУЕМ

Вам, вероятно, приходилось слышать о золотом сечении. Так называют число, выражающее определённое отношение длин отрезков. Золотое сечение широко использовалось в древней архитектуре. Сооружения, построенные с использованием золотого сечения, поражают своей соразмерностью, законченностью, красотой.

Золотое сечение может быть описано следующим образом: точка делит отрезок на две части в отношении, равном золотому сечению, если отношение большей части к меньшей равно отношению длины всего отрезка к длине большей его части (рис. 3.5):

$\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}$

Рис. 3.5

1) Найдите число, выражающее золотое сечение. Для этого примите длину меньшей части b за 1 и, подставив b = 1 в пропорцию, найдите из этой пропорции a. Положительное значение a и будет равно золотому сечению. (Запишите его точное значение и приближённое значение с тремя знаками после запятой.)

2) Постройте какой-нибудь прямоугольник, отношение сторон которого равно золотому сечению. «Отрежьте» от него квадрат. Убедитесь в том, что отношение сторон полученного прямоугольника также равно золотому сечению (в вычислениях используйте точное значение золотого сечения).

1)

Согласно определению золотого сечения, отношение большей части отрезка ($a$) к меньшей ($b$) равно отношению всего отрезка ($a+b$) к большей части ($a$). Это выражается пропорцией:

$\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}$

По условию задачи, мы принимаем длину меньшей части $b$ за 1. Подставим $b=1$ в эту пропорцию:

$\frac{a}{1} = \frac{a+1}{a}$

Упростим полученное уравнение:

$a = \frac{a+1}{a}$

Умножим обе части уравнения на $a$ (поскольку $a$ — это длина, $a \neq 0$):

$a^2 = a + 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$a^2 - a - 1 = 0$

Для решения этого уравнения используем формулу корней квадратного уравнения $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$, где в нашем случае $A=1$, $B=-1$, $C=-1$.

$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Поскольку $a$ представляет собой длину отрезка, ее значение должно быть положительным. Следовательно, мы выбираем корень со знаком «плюс».

Точное значение числа, выражающего золотое сечение (которое также обозначают греческой буквой $\phi$ — фи), равно:

$a = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь найдем его приближенное значение. Зная, что $\sqrt{5} \approx 2.2360679...$, получаем:

$a \approx \frac{1 + 2.236068}{2} = \frac{3.236068}{2} \approx 1.618034$

Округлим это значение до трех знаков после запятой:

$a \approx 1.618$

Ответ: Точное значение золотого сечения равно $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, а его приближенное значение с тремя знаками после запятой — $1.618$.

2)

Построим прямоугольник, отношение сторон которого равно золотому сечению. Пусть его большая сторона равна $a = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, а меньшая сторона равна $b=1$. Отношение сторон этого прямоугольника $\frac{a}{b} = \frac{\phi}{1} = \phi$.

Теперь, согласно заданию, «отрежем» от этого прямоугольника квадрат. Сторона квадрата будет равна меньшей стороне прямоугольника, то есть $1$. Размеры исходного прямоугольника — $\phi \times 1$.

После того как мы отрезали квадрат $1 \times 1$, остался новый, меньший прямоугольник. Найдем его размеры:

• Одна сторона нового прямоугольника осталась прежней и равна $1$.
• Другая сторона равна разности длинной стороны исходного прямоугольника и стороны квадрата: $\phi - 1$.

Таким образом, мы получили прямоугольник со сторонами $1$ и $\phi - 1$.

Теперь убедимся, что отношение сторон этого нового прямоугольника также равно золотому сечению. Для этого нужно найти отношение его большей стороны к меньшей. Сравним длины сторон $1$ и $\phi-1$:

$\phi \approx 1.618$, значит $\phi - 1 \approx 0.618$.

Следовательно, $1 > \phi - 1$. Большая сторона нового прямоугольника равна $1$, а меньшая — $\phi - 1$.

Найдем их отношение, используя точное значение $\phi$:

$\frac{1}{\phi - 1}$

Из пункта 1) мы знаем, что $\phi$ является корнем уравнения $\phi^2 - \phi - 1 = 0$. Если $\phi \neq 0$, мы можем разделить все уравнение на $\phi$:

$\phi - 1 - \frac{1}{\phi} = 0$

Отсюда следует, что:

$\phi - 1 = \frac{1}{\phi}$

Подставим это выражение в наше отношение сторон:

$\frac{1}{\phi - 1} = \frac{1}{1/\phi} = \phi$

Таким образом, отношение сторон полученного прямоугольника действительно равно золотому сечению $\phi$.

Ответ: Если от прямоугольника со сторонами, находящимися в золотом сечении (например, $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $1$), отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника ($1$), то оставшийся прямоугольник будет иметь стороны $1$ и $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Отношение его большей стороны к меньшей $\frac{1}{(\sqrt{5}-1)/2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, что также равно золотому сечению. Таким образом, свойство сохраняется.